1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的法向量为a(1,2，2)，平面的法向量为b(2，4，k)，若，则k()A4 B4 C5 D5【解析】，ab，ab282k0.k5.【答案】D2已知平面的一个法向量是(2，1,1)，则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A(4,2，2) B(2,0,4)C(2，1，5) D(4，2,2)【解析】，的法向量与的法向量平行，又(4，2,2)2(2，1,1)，故应选D.【答案】D3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B，4C.，2,4 D4，15【解析】，0，即
2、352z0，得z4，又BP平面ABC，则解得【答案】B4已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) BC. D【解析】对于B，则n(3,1,2)0，n，则点P在平面内【答案】B5设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点M构成的图形是()A圆 B直线 C平面 D线段【解析】M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面【答案】C二、填空题6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v(3，2,1)与平面平行，则z_.【解析】由题意知uv，uv36z0，z9.【答案】97已知a(x,2，4
3、)，b(1，y,3)，c(1，2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_.【解析】由题意，知解得x64，y26，z17.【答案】(64，26，17)8若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_. 【导学号：15460076】【解析】因为，又因为a0，a0，所以解得所以xyzyy23(4)【答案】23(4)三、解答题9.如图3219，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.图3219【证明】以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M.
4、所以，(0, ，1)，(，0)设n(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为.所以n ，得n与共线所以AM平面BDF.10底面ABCD是正方形，AS平面ABCD，且ASAB，E是SC的中点求证：平面BDE平面ABCD.【证明】法一设ABBCCDDAAS1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E.连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.因为(0,0,1)，所以.所以OEAS.又因为AS平面ABCD，所以OE平面ABCD.又因为OE平面BDE，所以平面BD
5、E平面ABCD.法二设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，所以即令x1，可得平面BDE的一个法向量为n1(1,1,0)因为AS平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)因为n1n20，所以平面BDE平面ABCD.能力提升1如图3220，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()图3220A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)【解析】设平面AEF的一个法向量为n(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则
6、A(1,0,0)，E，F.故，.所以即所以当z2时，n(4,1，2)，故选B.【答案】B2如图3221，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面A1B1C1，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3221A当点Q为线段B1P的中点时，DQ平面A1BDB当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ平面A1BDC在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ平面A1BDD不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A
7、1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，(1,0,1)，(1,2,0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则取z2，则x2，y1，所以平面A1BD的一个法向量为n(2,1，2)假设DQ平面A1BD，且(1,2,0)(，2，0)，则，因为也是平面A1BD的法向量，所以n(2,1，2)与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.【答案】D3.如图3222，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD底面ABCD，且PD1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系_图3
8、222【解析】以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，平面PBC的一个法向量n(0,1,1)，n，n，EF平面PBC.【答案】垂直4如图3223，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，且ADBC，ABCPAD90，侧面PAD底面ABCD.若PAABBCAD.图3223(1)求证：CD平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】因为PAD90，所以PAAD.又因为侧面PAD底面ABCD，且侧面PAD底面ABCDAD，所以PA底面ABCD.又因为BAD90，所以AB，AD，
9、AP两两垂直分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)(1)(0,0,1)，(1,1,0)，(1,1,0)，可得0，0，所以APCD，ACCD.又因为APACA，所以CD平面PAC.(2)设侧棱PA的中点是E，则E，.设平面PCD的法向量是n(x，y，z)，则因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以取x1，则y1，z2，所以平面PCD的一个法向量为n(1,1,2)所以n(1,1,2)0，所以n.因为BE平面PCD，所以BE平面PCD.综上所述，当E为PA的中点时，BE平面PCD.