1、极值点偏移研究一道极值点偏移问题究竟可以有多少种解法典例.（2021新高考1卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.证明：（1）函数的定义域为，又，当时，当时，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，时，故. 下面用不同的方法来证明：.这些方法均是证明极值点偏移的常用方法.方法1.构造偏差函数.若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.方法2. 比值代换.令，由，整理得，于是，欲证只需证. 下面构造函数：，故只需证明即
2、可，对求二阶导数可证得.方法3.不等式放缩由于下面不等式组成立：以及. 下面我们用不等式放缩来完成证明：，整理可得：，即证得.方法4.二次函数拟合如图，考虑用二次函数拟合上述曲线，只需保证二次函数在顶点处的邻域内拟合即可.可将在处二阶泰勒展开，故只需满足方程组，求得：.即.这样的话，的根为，且，由，得证.方法5：单调性同构（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.下面我们证明由于，于是可得：.构造函数，则上式显然成立，于是可得：，得证！方法6.先给出极值点偏移判定定理.极值点偏移判定定理：若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：（1）若，则； （2）若，则.反之，若在满足，且满足，为函数的一个极值点，则有：（3）若，则； （4）若，则.证明见第6讲，此处略去！回到原题，由题知可得，若令，则原命题等价于：已知，证明：. 不妨假设,由于，故,注意到为函数的极值点，因此此处我们只用判定定理证明.，由于是严格减函数，根据本文所给判定定理之（2）可得，证毕.
