1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知集合A1，a，B1,2,3，则“a3”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】A1，a，B1,2,3，AB，aB且a1，a2或3，“a3”是“AB”的充分不必要条件【答案】A2已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“2”，则命题甲是命题乙的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】若2，则ac2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0，c1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件【答案】
2、A3设R，则“0”是“f(x)cos(x)(xR)为偶函数”的() 【导学号：15460014】A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若0，则f(x)cos(x)cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)cos(x)为偶函数，则k(kZ)，必要性不成立，故选A.【答案】A4“a1”是“函数f(x)ax22x1只有一个零点”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】当a1时，函数f(x)ax22x1x22x1只有一个零点1；但若函数f(x)ax22x1只有一个零点，则a1或a0.所以“a1”是“函数f(x)ax2
3、2x1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】B5已知函数f(x)xbcos x，其中b为常数，那么“b0”是“f(x)为奇函数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】当b0时，f(x)x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(x)f(x)，xbcos xxbcos x，从而2bcos x0，b0.【答案】C二、填空题6“b2ac”是“a，b，c成等比数列”的_条件【解析】“b2ac”“a，b，c成等比数列”，如b2ac0；而“a，b，c成等比数列”“b2ac”【答案】必要不充分7“a1”是“l1：xay60与l2：(3a)x2(a1)y60平行”的
4、_条件【解析】若直线l1：xay60与l2：(3a)x2(a1)y60平行，则需满足12(a1)a(3a)0，化简整理得a2a20，解得a1或a2，经验证得当a1时，两直线平行，当a2时，两直线重合，故“a1”是“l1：xay60与l2：(3a)x2(a1)y60平行”的充要条件【答案】充要8在下列各项中选择一项填空：充分不必要条件；必要不充分条件；充要条件；既不充分也不必要条件(1)集合A1，p,2，B2,3，则“p3”是“ABB”的_；(2)“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上是增函数”的_【解析】(1)当p3时，A1,2,3，此时ABB；若ABB，则必有p3.因此“p3”是“ABB
5、”的充要条件(2)当a1时，f(x)|2xa|2x1|在上是增函数；但由f(x)|2xa|在区间上是增函数不能得到a1，如当a0时，函数f(x)|2xa|2x|在区间上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上是增函数”的充分不必要条件【答案】(1)(2)三、解答题9下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由(1)p：|x|y|，q：xy；(2)在ABC，p：sin A，q：A.【解】(1)因为|x|y|xy或xy，但xy|x|y|，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件(2)因为A(0，)时，sin A(0,1，且A时，ysin A单调递增，A时，ys
6、in A单调递减，所以sin AA，但Asin A.所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件10设a，b，c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2b(bc)”是“A2B”的充要条件【证明】充分性：由a2b(bc)b2c22bccos A可得12cos A.即sin B2sin Bcos Asin(AB)化简得sin Bsin(AB)由于sin B0且在三角形中，故BAB，即A2B.必要性：若A2B，则ABB，sin(AB)sin B，sin(AB)sin Acos Bcos Asin B，sin(AB)sin Acos Bcos AsinBsin(AB)sin B(1
7、2cos A)A，B，C为ABC的内角，sin(AB)sin C，即sin Csin B(12cos A)12cos A1，即.化简得a2b(bc)“a2b(bc)”是“A2B”的充要条件能力提升1如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由条件，知DCBA，即DA，但A D，故选A.【答案】A2设有如下命题：甲：两相交直线l，m在平面内， 且都不在平面内；乙：l，m中至少有一条与相交；丙：与相交那么当甲成立时()A乙是丙的充分不必要条件B乙是丙的必要不充分条件C乙是丙的充分
8、必要条件D乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l，m中至少有一条与相交时，与有公共点，则与相交，即乙丙，反之，当与相交时，l，m中也至少有一条与相交，否则若l，m都不与相交，又都不在内，则l，m，从而，与已知与相交矛盾，即丙乙，故选C.【答案】C3已知f(x)是R上的增函数，且f(1)4，f(2)2，设Px|f(xt)2，Qx|f(x)4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是_. 【导学号：15460015】【解析】因为f(x)是R上的增函数，f(1)4，f(x)4，f(2)2，f(xt)2，所以x1，xt2，x2t.又因为“xP”是“xQ”的充分不必要条件，所以2t3.【答案】(3，)4已知数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.【证明】充分性：因为q1，所以a1S1p1.当n2时，anSnSn1pn1(p1)，显然，当n1时，也成立因为p0，且p1，所以p，即数列an为等比数列，必要性：当n1时，a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)因为p0，且p1，所以p.因为an为等比数列，所以p，即p.所以ppq，即q1.所以数列an为等比数列的充要条件为q1.