1、2016-2017学年山东省德州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1直线l： x+y+3=0的倾斜角为（）A30B60C120D1502两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A两条平行直线B一点和一条直线C两条相交直线D两个点3已知圆C：x2+y22x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A圆心P（1，3），半径r=10B圆心P（1，3），半径C圆心P（1，3），半径r=10D圆心P（1，3），半径4已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是（）A平行B相交或异面C异面D平行或异面5过点（2，4）且在两坐标轴上截
2、距的绝对值相等的直线有（）A1条B2条C3条D4条6在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为（）ABCD7已知两条直线l1：x+2ay1=0，l2：x4y=0，且l1l2，则满足条件a的值为（）ABC2D28设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）AB2C2D49一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+10一束光线从点（1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x2）2+（y3）2=1上的最短路径长度是（）A4B5C3D211点
3、P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）Ax+y1=0B2x+y3=0Cxy3=0D2xy5=012四面体PABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（）A内心B外心C垂心D重心二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13已知O1：x2+y2=1与O2：（x3）2+（y+4）2=9，则O1与O2的位置关系为14圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为15若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：，则；，则；l，l，则若l，则l平行于内的所有直线其中正确命题的序号是 （把你认为正确命
4、题的序号都填上）16如图2，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2），则图2中的水面高度为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x2y1=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S18如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形（1）求该几何体的全面积（2）求该几何体的外接球的体积19已知直线l1：mxy=0，l2：x+mym2=0（
5、1）求证：对mR，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，PP1P2的面积的最大值及对应的m20已知圆C同时满足下列三个条件：与y轴相切；在直线y=x上截得弦长为2；圆心在直线x3y=0上求圆C的方程21已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离22已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求
6、圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由2016-2017学年山东省德州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1直线l： x+y+3=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】由题意可得，直线的斜率tan=，再由0180，可得 的值【解答】解：由于直线l： x+y+3=0的倾斜角为，则直线的斜率tan=，再
7、由0180，可得 =120，故选C2两条不平行的直线，其平行投影不可能是（）A两条平行直线B一点和一条直线C两条相交直线D两个点【考点】平行投影及平行投影作图法【分析】两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系【解答】解：有两条不平行的直线，这两条直线是异面或相交，其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系与已知矛盾故选D3已知圆C：x2+y22x+6y=0，则圆心P及半径r分别为（）A圆心P（
8、1，3），半径r=10B圆心P（1，3），半径C圆心P（1，3），半径r=10D圆心P（1，3），半径【考点】圆的一般方程【分析】根据已知中圆的一般方程，利用配方法，可将其化为标准方程，进而得到圆的圆心坐标及半径【解答】解：圆C：x2+y22x+6y=0的方程可化为，（x1）2+（y+3）2=10，故圆心P的坐标为（1，3），半径r=故选D4已知a，b，则直线a与直线b的位置关系是（）A平行B相交或异面C异面D平行或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】由直线a平面，直线b在平面内，知ab，或a与b异面【解答】解：直线a平面，直线b在平面内，ab，或a与b异面，故答案为：平行或异面
9、，5过点（2，4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）A1条B2条C3条D4条【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【分析】根据直线截距的意义即可得到结论【解答】解：若直线过原点，则满足条件，此时设直线方程为y=kx，则4=2k，解得k=2，此时直线为y=2x，若直线不经过原点，则设直线的截距式方程为，直线过点（2，4，），|a|=|b|，a=b或a=b，若a=b，则方程等价为，解得a=b=2，此时直线方程为x+y=2，若a=b，则方程等价为，解得b=6，a=6，此时直线方程为xy=6，故满足条件的直线有3条，故选：C6在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，D
10、A的中点若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60，则四边形EFGH的面积为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】先证明四边形EFGH为菱形，然后说明EFG=60，最后根据三角形的面积公式即可求出所求【解答】解：连接EH，因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EH=BD同理，FGBD，EFAC，且FG=BD，EF=AC所以EHFG，且EH=FG所以四边形EFGH为平行四边形因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60所以EF=EH所以四边形EFGH为菱形，EFG=60四边形EFGH的面积是2（）2=a2故选A7已知两条直线l1：x+2ay1=0，l2：x4y=0，且l1l2，则
11、满足条件a的值为（）ABC2D2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】根据两直线平行，直线方程中一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay1=0，l2：x4y=0，且l1l2，可得，求得 a=2，故选C8设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）AB2C2D4【考点】圆的切线方程【分析】先求出过点（0，a），其斜率为1的直线方程，利用相切（圆心到直线的距离等于半径）求出a即可【解答】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，
12、a的值为2，故选B9一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选C10一束光线从点（1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x2）2+（y3）2=1上的最短路径长度是（）
13、A4B5C3D2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】求出点A关于x轴的对称点A，则要求的最短路径的长为ACr（圆的半径），计算求得结果【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A（1，1），求得AC=5，则要求的最短路径的长为ACr=51=4，故选A11点P（2，1）为圆（x1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）Ax+y1=0B2x+y3=0Cxy3=0D2xy5=0【考点】直线与圆相交的性质【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程【解答】
14、解：AB是圆（x1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）设AB的中点是P（2，1）满足ABCP因此，PQ的斜率k=1可得直线PQ的方程是y+1=x2，化简得xy3=0故选：C12四面体PABC中，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的（）A内心B外心C垂心D重心【考点】棱锥的结构特征【分析】由已知条件推导出POAPOBPOC，由此能求出点P在平面ABC内的射影点O是三角形ABC的外心【解答】解：设P在平面ABC射影为O，PA=PB=PC，PO=PO=PO，（公用边），POA=POB=POC=90，POAPOBPOC，OA=OB=OC，O是三角形ABC的外心故选：B
15、二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13已知O1：x2+y2=1与O2：（x3）2+（y+4）2=9，则O1与O2的位置关系为相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】先根据圆的方程得出圆的圆心坐标和半径，求出圆心距和半径之和等，再根据数量关系来判断两圆的位置关系即可【解答】解：根据题意，得O1的半径为r=1，O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，Rr=2，则45，即R+rO1O2，两圆相离故答案为：相离14圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为或【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积【解
16、答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是（）2a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是（）22a=，综上所求圆柱的体积是：或故答案为：或；15若l为一条直线，为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：，则；，则；l，l，则若l，则l平行于内的所有直线其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）【考点】四种命题的真假关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】若，则与可能平行与可能相交，可判断的正误；由两个平行的平面与第三个平面的夹角相同，可判断的正误；根据面面垂直的判断定理，我们判断的正误；
17、若l，则l与内的直线平行或异面，可判断的正误；逐一分析后，即可得到正确的答案【解答】解：中，若，则与可能平行与可能相交，故错误；中，若，则，故正确；中，若l，l，则中存在直线a平行l，即 a，由线面垂直的判定定理，得则，故正确；中，若l，则l与内的直线平行或异面，故的错误；故答案：16如图2，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2），则图2中的水面高度为a【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比【解答】解：令圆锥倒置时
18、水的体积为V，圆锥体积为V 则=正置后：V水=V则突出的部分V空=V设此时空出部分高为h，则h3：，故水的高度为：a故答案为：a三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x2y1=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标【分析】（）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x2y1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（）分别令x
19、=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积【解答】解：（）由解得由于点P的坐标是（2，2）则所求直线l与x2y1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0把点P的坐标代入得2（2）+2+m=0，即m=2所求直线l的方程为2x+y+2=0（）由直线l的方程知它在x轴y轴上的截距分别是12，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积18如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形（1）求该几何体的全面积（2）求该几何体的外接球的体积【考点】由三视图求面积、体积【分
20、析】三视图复原的几何体是底面是正方形的正四棱柱，根据三视图的数据，求出几何体的表面积，求出对角线的长，就是外接球的直径，然后求它的体积即可【解答】解：（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的全面积是：244+442=64cm2几何体的全面积是64cm2（2）由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d，球的半径是r，d=所以球的半径r=3因此球的体积v=，所以外接球的体积是36cm319已知直线l1：mxy=0，l2：x+mym2=0（1）求证：对mR，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2
21、与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，PP1P2的面积的最大值及对应的m【考点】直线与圆的位置关系；两条直线的交点坐标【分析】（1）联立两条直线方程，消去m，即得到l1和l2的交点M的方程，判断对mR，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）当P点在定圆上移动时，PP1P2的底边P1P2为定值2r当三角形的高最大时，PP1P2的面积最大【解答】解：（1）如图所示：l1：y=0，过定点（0，0），=m；l2：x+mym2=0，m（y1）+x2=0， =令y1=0，x2=0得y=1，x=2，过定点（2，1），=1，直线与直线互相垂直，直线与直线的交点必
22、在以（0，0），（2，1）为一条直径端点的圆上，且圆心（1，），半径r=，圆的方程为（x1）2+（y）2=即x2+y22xy=0；（2）由（1）得：（0，0），（2，1）当P点在定圆上移动时，PP1P2的底边P1P2为定值2r当三角形的高最大时，PP1P2的面积最大故三角形面积最大为2rr=又与圆的交点为P（，），且OP与P1P2的夹角是45|OP|=，即+=，解得：m=3或m=故当m=3或m=时，PP1P2的面积取得最大值20已知圆C同时满足下列三个条件：与y轴相切；在直线y=x上截得弦长为2；圆心在直线x3y=0上求圆C的方程【考点】圆的标准方程【分析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=
23、x交于AB，由题设知圆心C（3a，a），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程【解答】解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，圆心C在直线x3y=0上，圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，R=3|a|又圆心C到直线yx=0的距离在RtCBD中，9a22a2=7a2=1，a=1，3a=3圆心的坐标C分别为（3，1）和（3，1），故所求圆的方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=921已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点（1）证明：DN
24、平面PMB；（2）证明：平面PMB平面PAD；（3）求点A到平面PMB的距离【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【分析】（1）取PB中点Q，连接MQ、NQ，再加上QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQ，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；（2）易证PDMB，又因为底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，且M为AD中点，然后利用平面与平面垂直的判定定理进行证明；（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离，过点D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB，DH是点D到平面PMB的距离，从而求解【解答】解：（
25、1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQDN平面PMB（2）PDMB又因为底面ABCD是A=60、边长为a的菱形，且M为AD中点，所以MBAD又ADPD=D，所以MB平面PAD. 平面PMB平面PAD（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离过点D作DHPM于H，由（2）平面PMB平面PAD，所以DH平面PMB故DH是点D到平面PMB的距离.点A到平面PMB的距离为22已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交
26、于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；圆的标准方程【分析】（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以，由此能求了圆的方程（）把直线axy+5=0代入圆的方程，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，由此能求出实数a的取值范围（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上
27、，由此推导出存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB【解答】（本小题满分14分）解：（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以，即|4m29|=25因为m为整数，故m=1故所求圆的方程为（x1）2+y2=25 （）把直线axy+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是（）（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+24a=0，解得由于，故存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB2017年2月14日
