1、第二章 函数与方程一、选择题1“a2”是“函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：当a0，f(2)32a0，所以函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0；当函数f(x)ax3在区间1,2上存在零点x0时，有f(1)f(2)0，解得a3或a.答案：A2已知x0是函数f(x)ln x的一个零点，若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0Df(x1)0解析：f(x0)0，f(x)lnx在定义域内为增函数，f(x1)f(x0)f(x2)即f(
2、x1)00，即m240，解得m2或m2.答案：C4函数f(x)cos x在0，)内()A没有零点 B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点 D有无穷多个零点解析：在同一个坐标系中作出y与ycos x的图象如图，由图象可得函数f(x)cos x在0，)上只有一个零点答案：B5函数yf(x)在区间(2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)0在(2,2)上仅有一个实根0，则f(1)f(1)的值()A大于0 B小于0C等于0 D无法确定解析：由题意，知f(x)在(1, 1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，f(1)f(1)符号不定，如f(x)x2，f(x)x.答案：D6已知定义在R上的
3、函数f(x)(x23x2)g(x)3x4，其中函数yg(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)0在下面哪个范围内必有实数根()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析：f(x)(x23x2)g(x)3x4(x1)(x2)g(x)3x4，则f(1)10.答案：B二、填空题7已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：画出图象，令g(x)f(x)m0，即f(x)与ym的图象的交点有3个，0m0，f()()()0.f(x)在(，)内存在零点答案：9已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex2x
4、a0有解问题，即方程a2xex有解令函数g(x)2xex，则g(x)2ex，令g(x)0，得xln2，所以g(x)在(，ln2)上是增函数，在(ln2，)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)2ln22.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a(，2ln22答案：(，2ln22三、解答题10判断方程3xx20的负实数根的个数，并说明理由解：设f(x)3xx2，f(1)0，又函数f(x)的图象在1,0上是连续不断的，函数f(x)在(1,0)内有零点又在(，0)上，函数y3x递增，yx2递减，f(x)在(，0)上是单调递增的f(x)在(1,0)内只有一个零点因此方程3xx20只
5、有一个负实数根11二次函数f(x)x216xq3.若函数在区间1,1上存在零点，求实数q的取值范围；解：函数f(x)x216xq3的对称轴是x8，f(x)在区间1,1上是减函数函数在区间1,1上存在零点，则必有，即，20q12.实数q的取值范围为20,1212已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)法一：g(x)x22e，等号成立的条件是xe，故g (x)的值域是2e，)，因而只需m2e，则g(x)m就有零点法二：作出g(x)x(x0)的大致图象如图：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e.法三：由g(x)m得x2mxe20.此方程有大于零的根，故等价于，故m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)x(x0)的大致图象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图象的对称轴为xe，开口向下，最大值为m1e2.故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根m的取值范围是(e22e1，)