2022版新教材高中数学 第二章 平面解析几何 2 直线及其方程 1 直线的倾斜角与斜率 第2课时 直线的方向向量和法向量训练（含解析）新人教B版选择性必修第一册.docx

1、第2课时 直线的方向向量和法向量基础达标练1.（2020山东德州高二检测）过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1) ,则y= ( )A.-32 B.32C.-1D.1答案：C2.（多选）若直线l的倾斜角等于135 ,则下列向量中可以是直线l的方向向量的有( )A.(2,2)B.(-3,3)C.(2,-2) D.(14,-14)答案：B ; C ; D3.直线l过点A(-1,3)和B(3,2) ,则直线l的一个法向量为( )A.(-1,4)B.(2,5)C.(5,-2)D.(-1,-4)答案：D4.（2021山东青岛高二月考）已知直线l的一个方向向量为(cos4

2、5,-sin45) ,则直线l的倾斜角为( )A.45 B.-45 C.135 D.315答案：C5.已知直线l经过点P(1,2)和点Q(-2,-2) ,则直线l的一个单位方向向量为( )A.(-3,-4)B.(-35,-45)C.(35,45) D.(35,45)答案： D6.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的一个方向向量为a=(-3,0) ,则AC与AB所在直线的斜率之和为( )A.-23 B.0C.3 D.23答案： B 解析：a=(-3,0),BC所在直线的斜率为0.又ABC为等边三角形,AB与AC所在直线的倾斜角一个为60 ,另一个为120 ,kAB+kAC=tan

3、60+tan120=0.7.（多选）下列说法正确的是( )A.若直线垂直于y轴,则该直线的一个方向向量为(1,0),一个法向量为(0,1)B.若直线的一个方向向量为(a,a+1) ,则该直线的斜率k=a+1aC.若直线的一个法向量为v=(x0,y0) ,则a=(y0,-x0)能作为该直线的一个方向向量D.任何直线一定存在法向量与方向向量,且两向量是相互垂直的答案：A ; C ; D解析：由直线的方向向量、法向量的定义知A,C,D正确,选项B中,当a=0时,不成立,故选ACD.8.已知直线l的一个法向量为(3,1) ,则直线l的倾斜角为答案：1209.直线l过点A(2,a),B(3,1),C(b

4、,-2) ,则1a+3b= ;若直线l的一个方向向量为m=(2,-3) ,则a+b= .答案： 1; 152解析：由题意得,AB=(1,1-a),BC=(b-3,-3),A,B,C三点共线,AB/BC-3-(1-a)(b-3)=0,即(a-1)(b-3)-3=0,ab-3a-b=0,3a+b=ab,等式两边同除以ab得3b+1a=1 .若m=(2,-3)为直线l的一个方向向量,则m/AB,m/BC,-3-(1-a)2=0-6+3(b-3)=0解得a=52,b=5,a+b=15210.已知实数x,y满足y=-2x+8 ,且2x3 ,若直线l的方向向量为a=(2x,-3y) ,则直线l的斜率的取值

5、范围为答案：-3,-1解析：直线l的方向向量为a=(2x,-3y) ,则k=-3y2x=-32yxyx=-2x+8x=-2+8x,且2x3，838x4,23yx2，-3-32yx-1 ,即直线l的斜率k的取值范围是-3,-1素养提升练11.将直线l沿y轴负方向平移a(a0)个单位长度,再沿x轴正方向平移(a+1)个单位长度,得到直线l ,此时直线l与l重合,若直线l的一个方向向量为b=(2,-1) ,则a的值为( )A.12 B.1C.2D.4答案：B解析：设直线l上一点为A(m,n) ,则平移后点A的对应点为A(m+a+1,n-a)A与A都在直线l上,AA=(m+a+1,n-a)-(m,n)

6、=(a+1,-a)为直线l的一个方向向量AAb,-2a+(a+1)=0,a=1 .12.已知A(-3,-1),B(1,a),C(5,a2+1)三点不能构成一个三角形,则a的值为答案：0或2解析：A,B,C不能构成一个三角形,A,B,C三点共线ABAC ,AB=(4,a+1),AC=(8,a2+2),4(a2+2)-8(a+1)=0,即a2-2a=0,a=0或a=2.当a=0或a=2时,A,B,C三点共线,不能构成三角形13.直线l的一个方向向量为(cos,32sin2)(2+k,kZ) ,则直线l的倾斜角的取值范围是答案：0,3)(23,)解析：2+k,kZcos0,sin1设直线l的倾斜角为

7、 ,则tan=32sin2cos=3sin.sin(-1,1),tan(-3,3),又0,),0,3)(23,)14.已知a0,b0,且向量u=(a,3)和v=(1-b,2)都是直线l的法向量,求2a+3b的最小值答案：u/v，2a-3(1-b)=0,即2a+3b=3，13(2a+3b)=1,且a0,b0，2a+3b=(2a+3b)13(2a+3b)=13(4+9+6ba+6ab)=133+2(ba+ab)133+22baab=253 .当且仅当ba=ab, ,即a=b=35时,等号成立当a=b=35时,2a+3b的最小值为253 .15.已知直线过M(m+3,2m+5),N(2m-1,1)两

8、点（1）当m为何值时,直线的倾斜角为锐角？（2）若直线的一个方向向量为a=(0,-2020) ,求m的值答案：（1）若倾斜角为锐角,则k=2m+5-1(m+3)-(2m-1)=2m+4-m+40，即(m+2)(m-4)0,解得-2m4 .（2）直线的一个方向向量为a=(0,-2020) ,直线的斜率不存在故过M,N两点的直线垂直于x轴m+3=2m-1,即m=4 .创新拓展练16.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图像上任意三个不同的点求证：若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0 .解析：命题分析本题把直线的方向向量问题、三点共线问题与函数的性质交汇命题

9、,考查学生分析问题、解决问题的能力.答题要领由A,B,C三点共线,可知直线AB的方向向量AB和AC共线,运算化简可得x1,x2,x3的关系式,即可证明x1+x2+x3=0 .答案：证明A,B,C三点共线,AB与AC共线,AB=(x2-x1,y2-y1),AC=(x3-x1,y3-y1)，(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0，即(x2-x1)(x33-x13)-(x3-x1)(x23-x13)=0 .(x2-x1)(x3-x1)(x32+x3x1+x12)-(x3-x1)(x22+x2x1+x12)=0,，即(x2-x1)(x3-x1)(x32+x3x1+x12)-(x22+x2x1+x12)=0，即(x3-x2)(x3+x2+x1)=0，又A,B,C三点不共点,x1x2,x1x3,x2x3，x32+x3x1-x22-x2x1=0，即(x3-x2)(x3+x2)+x1(x3-x2)=0，即(x3-x2)(x3+x2+x1)=0，x2x3,x1+x2+x3=0，即证原等式成立.方法感悟解决三点共线问题或利用三点共线问题解决其他问题的切入点有两个：一是根据三点所在直线的方向向量共线构建方程;二是根据三点中任意两点连线的斜率相等构建方程.