1、本章复习提升易混易错练易错点1忽略集合中元素的意义1.()方程组x+y=5,3x-4y=-6的解集是()A.x=2,y=3B.2,3C.(2,3)D.(2,3)2.()已知集合M=(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0,N=-3,1,则M与N的关系是()A.M=NB.MNC.MND.M,N无公共元素3.()已知集合M=x|y=x2+2x+4,N=y|y=2x2+2x+3,则MN=.易错点2忽略集合中元素的互异性4.()已知集合P=x|-1x1,M=-a,a.若PM=P,则实数a的取值范围是()A.a|-1a1B.a|-1a1C.a|-1a1且a0D.a|-1a1且a05.(2021河北张家
2、口尚义第一中学高一期中,)已知集合A=a+1,a-1,a2-3,若1A,则实数a的值为.6.()设集合A=(x-1)2,7x-3,5,B=25,6x+1,5x+9,若AB=25,求AB.易错点3忽略对空集情况的讨论7.(多选)()已知集合A=x|-2x7,B=x|m+1x2C.m|2m1,B=x|xa,若AB,则实数a的取值范围是.12.()已知集合A=x|x4或x-5,B=x|a+1xa+3,aR,若BA,求实数a的取值范围.易错点5忽略条件与结论的区分导致充分性或者必要性的判断错误13.(2021安徽马鞍山高一上质检,)命题p:-1x2的一个必要不充分条件是()A.-1x2B.-1x2C.
3、0x2D.0x314.(2021天津实验中学高一上月考,)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a0C.a1易错点6忽略命题中的隐含条件导致错误15.()若命题p:xR,x1,则p:.思想方法练一、补集思想在集合问题中的应用1.(2021安徽马鞍山第二中学月考,)若集合A1,2,3,且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有()A.3个B.4个C.5个 D.6个2.()已知集合A=x|x2-2x+9-a=0,B=x|ax2-4x+1=0,a0,若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用3.()已知
4、集合A=x|ax2+2x+a=0,aR,若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值是()A.1B.0,1C.-1,1D.-1,0,14.()已知集合A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+a-1=0,C=x|x2-mx+2=0.(1)命题p:“xB,都有xA”,若命题p为真命题,求实数a的值;(2)若“xA”是“xC”的必要条件,求实数m的取值范围.三、数形结合思想在集合问题中的应用5.(2021福建仙游第一中学高一上月考,)高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程
5、都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为()A.16B.17C.18D.196.()已知集合A=x|x-1或x1,B=x|2axa+1,a1,BA,求实数a的取值范围.四、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用7.(2021上海交通大学附属中学高三上期中,)已知xR,则“|x-2|1”是“x3”的()A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件8.(2021湖南邵阳邵东第一中学高一上期中,)已知命题p:xx|0x1,x
6、2-a0,命题q:xR,x2+2ax+a+2=0,若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围.五、特殊化思想在集合问题中的应用9.()定义差集A-B=x|xA,且xB,现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则下列图中阴影部分表示集合C-(A-B)的为()10.(2020安徽六安第一中学高一上月考,)设I为全集,S1,S2,S3是I的三个非空子集,且S1S2S3=I,则下面结论正确的是()A.(IS1)(S2S3)=B.S1(IS1)(IS3)C.(IS1)(IS2)=I(S1S2)D.S1(IS2)(IS3)答案全解全析易混易错练1.C解方程组x+y=5,3x-4y=-6得x=2,y=3,方程组
7、x+y=5,3x-4y=-6的解集为(2,3).故选C.易错警示本题容易因不能正确理解集合中元素的意义而错选A.2.D易得M=(x,y)|(x+3)2+(y-1)2=0=(-3,1)是点集,而N=-3,1是数集,所以两个集合没有公共元素,故选D.3.答案yy52解析易得M=R,N=yy=2x+122+52=yy52,所以MN=yy52.4.D由PM=P得MP,所以aP,-aP,即-1-a1,且-1a1,解得-1a1,又因为-aa,所以a0.故选D.5.答案0或-2解析若a+1=1,则a=0,此时A=1,-1,-3,符合题意;若a-1=1,则a=2,此时A=3,1,1,不满足集合中元素的互异性,
8、舍去;若a2-3=1,则a=-2或a=2(舍去),当a=-2时,A=-1,-3,1,符合题意.综上,a=0或a=-2.6.解析由AB=25得25A,所以(x-1)2=25或7x-3=25,解得x=6或x=-4或x=4.当x=6时,A=25,39,5,B=25,37,39,AB=25,39,不满足题意,故x=6舍去;当x=-4时,A=25,-31,5,B=25,-23,-11,AB=25,满足题意,此时AB=25,-31,5,-23,-11;当x=4时,A=9,25,5,B=25,25,29,B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去.综上,AB=25,-31,5,-23,-11.易错警示对
9、于用列举法表示的含参的数集,当知道该数集中含有的某元素时,要分各种可能情况对应求参数,且求得的数值一定要代入集合中验证是否满足元素的互异性.7.ACDAB=A,BA.若B不为空集,则m+12.A=x|-2x7,B=x|m+1x2m-1,m+1-2,且2m-17,解得-3m4.此时2m4.若B为空集,则m+12m-1,解得m2,符合题意.综上,实数m满足m4即可,故选ACD.8.答案-14或0或1解析A=x|x2-3x-4=0=-1,4.因为BA,所以当B=时,mx+1=0无解,得m=0;当B时,若B=-1,则m=1,若B=4,则m=-14.综上所述,m的值为-14或0或1.易错警示由于空集是任
10、何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此涉及含参数的集合是一个确定集合的子集或真子集问题时,要注意含参数的集合是空集的特殊情况.9.解析集合A=x|x2+x-2=0=-2,1.由AB=B,得BA.当B=时,=a2-4(a+3)0,即-2a0,-a=-1,a+3=-2,即a6,a=1,a=-5,无解,舍去.综上,实数a的取值集合为a|-2a2m-1,解得m5,m+12m-1或2m-14.综上,实数m的取值范围是m|m4.(2)若AB=A,则BA.当B=时,有m+12m-1,解得ma+1,所以B,利用数轴表示BA,如图所示,或则a+3-5或a+14,解得a-8或a3.所以a的取值范围是a|a-8
11、或a3.易错警示本题易错点:一是忽略B,二是没有考虑端点处能否取等号.13.A根据必要不充分条件的定义可知,只需找一个x的取值集合,使x|-1x2是此取值集合的一个真子集即可,结合选项可知,x|-1x0,3a0,解得a0.故满足题意的a的取值集合应是集合a|a0的真子集,结合选项可知选C.易错警示解决与充分条件、必要条件有关的问题时,如果不能正确区分谁是条件,谁是结论,那么就会将子集关系倒置,从而出现错误.15.答案xR,x1或x1中x的取值范围是x|x1,其补集为x|x1,所以p为xR,x1或x1,先解出x的取值范围为x|x1,再取其补集,为x|x1,所以命题的否定为xR,x1或x0,而不是
12、xR,x1.因为xR,x1等价于x|0x1,与题意不符.思想方法练1. D将“至少含有一个奇数”问题转化为“不含奇数”问题,使用补集思想.由题可知,集合A为非空集合.集合1,2,3的非空子集共有23-1=7个,其中不含奇数的集合只有1个,所以至少含有一个奇数的集合共有7-1=6个.故选D.方法点拨关于“至少”“至多”“不存在”等问题可考虑其反面,本题中,集合A中至少有一个奇数的反面是A中不含奇数,由此可求出满足题意的集合的个数.2.解析先考虑A,B均为空集的情况,应用补集思想求解.对于集合A,由=4-4(9-a)0,解得a8;对于集合B,由=16-4a4.因为A,B两个集合中至少有一个集合不为
13、空集,所以a的取值范围是a|a8或a4,且a0.方法点拨有些集合问题从正面处理较难,一是解题思路不明朗,二是需要考虑的因素太多,要分多种情况讨论,运算量大,且讨论不全又容易出错.若用补集思想考虑其对立面,则可达到化繁为简的目的.3.D集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素.对于集合A=x|ax2+2x+a=0,aR,当a=0时,A=0,满足题意.当a0时,=4-4a2=0,即a=1.若a=1,则A=-1,满足题意;若a=-1,则A=1,满足题意.所以a=0或a=1,故选D.方法点拨“三个二次”问题要注意方程的二次项系数,若二次项系数含参数,则要讨论该系数是不是零.4.解析(1)由题
14、意得A=1,2.命题p为真命题,BA.又B=x|x-(a-1)(x-1)=0,B有两种情况:集合B中元素不确定,根据集合B与集合A的关系分两种情况讨论.若B=1,则a-1=1,解得a=2;若B=1,2,则a-1=2,解得a=3.因此,a的值为2或3.(2)“xA”是“xC”的必要条件,由“xC”能推出“xA”,从而CA,因此,集合C有四种情况:根据集合A的子集的不同情况对集合C进行分类讨论.C=A,此时=m2-80,m=1+2,解得m=3;C=1,此时=m2-8=0,m=2,此时方程组无实数解,m的值不存在;C=2,=m2-8=0,m=4,此时方程组无实数解,m的值不存在;C=,此时=m2-8
15、0,解得-22m22.综上可知,m的取值范围为m|m=3或-22m22.思想方法分类讨论的关键是确定逻辑划分的标准,通过对问题的分类依次求解(或证明),综合各类结论,进而得到问题的结论.在本章中主要体现在由元素、集合的特征和元素与集合、集合与集合之间的关系引起的讨论.5.C把50名学生看成一个集合U,选择物理课程的人组成集合A,选择化学课程的人组成集合B,选择生物课程的人组成集合C,将选择不同科目的学生视为不同的集合,作出相应的Venn图,使用数形结合思想求解.要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,则其他几个
16、选择的人数均为最少,故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,以上最少有42人,可作出如下图所示的Venn图,所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18.故选C.6.解析a1,2aa+1,B.利用数轴表示BA,如图所示.利用数轴表示集合间的关系,从图形中形象、直观地确定参数满足的条件.或由图知要使BA,需a+1-1或2a1,即a-2或a12.又a1,实数a的取值范围是aa-2或12a1.思想方法数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象
17、,它们在一定条件下可以相互转化.数与形是有联系的,这个联系称为数形结合,或形数结合.作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:借助数的精确性来阐明形的某些属性,借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系,即数形结合包括两种情形:第一种情形是“以数解形”,第二种情形是“以形助数”.求解与集合有关的问题时,常常借助数轴和Venn图,从而使问题直观、形象,使运算快捷明了.7.D由|x-2|1可得1x3,x|1x3x|x3,“|x-2|1”是“x3”的充分不必要条件.故选D.方法点拨已知A,B为两个集合,若A是B的子集,则“xA”是“xB”的充分条件,“xB”是“xA”的必要条件;若A是
18、B的真子集,则“xA”是“xB”的充分不必要条件,“xB”是“xA”的必要不充分条件;若A=B,则“xA”是“xB”的充要条件.8.解析命题p:xx|0x1,x2-a0为真命题,ax2对任意xx|0x1恒成立,a(x2)min,即a0.将恒成立问题转化为最值问题,使用了转化与化归思想.命题q:xR,x2+2ax+a+2=0为真命题,方程x2+2ax+a+2=0有实数根,即=4a2-4(a+2)=4a2-4a-80,a-1或a2.命题p,q都是真命题,a-1.故实数a的取值范围为a-1.思想方法解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,此时通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择恰当的数
19、学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,自己较熟悉的问题),通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法称为转化与化归的思想方法.本章主要体现在集合的运算性质与集合之间关系的转化,充分条件、必要条件与集合之间的子集关系的转化,命题的真假与相关数学知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.9.A如图所示,取A=1,2,4,5,B=2,3,5,6,C=4,5,6,7.选取符合题意的特殊集合来验证答案.依题意得A-B=1,4,从而C-(A-B)=5,6,7,结合图形知,选项A正确.10.C令S1I,S2=S3=I,则(IS1)(S2S3)=(IS1)I,
20、因此A错误;令S1=I,则IS1=,即(IS1)(IS3)=,因此B错误;令S2=S3=I,则(IS2)(IS3)=,若S1(IS2)(IS3),则S1=,不符合题意,因此D错误;由集合的运算性质易知C正确.故选C.通过将集合S1,S2,S3特殊化,逐一分析各选项,从而求解.思想方法“特殊化思想”是指在解题时采用特殊的判断、特殊的数值、特殊的几何图形等来解题的思想方法;或者先解决数学问题的特殊情形,再将解决特殊情形的方法或结果应用并推广到一般问题之中,从而解决一般性问题的思想.显而易见,相对于“一般”而言,“特殊”往往显得简单、直观和具体,在与集合和常用逻辑用语相关的客观题中,可根据具体情况进行特殊化处理,一般所求得的结果就是问题的结果.
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