1、本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式(x+1)(2-x)-1B.x|x1C.x|-1x2D.x|x22.设正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),若ab的最大值为3,则k=()A.3B.32C.23D.133.若命题“xR,x2+(a-1)x+10”是假命题,则实数a的取值范围为()A.(-1,3)B.-1,3C.(-,-1)(3,+)D.(-,-13,+)4.若关于x的不等式ax2-2ax+11B.a1C.00,y0,且1x+3+1y=12,则x+y的最小值
2、为()A.5B.6C.7D.86.若正数a,b满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y的最大值是()A.12B.-12C.16D.-167.已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根,则a2bc+b2ca+c2ab的值为()A.0B.1C.2D.38.已知0a1,0b1,且4(a+b)=4ab+3,则a+2b的最大值为()A.2B.22C.3-2D.3-22二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错
3、的得0分)9.若非零实数a,b满足ab,则下列不等式不一定成立的是()A.ab1B.ba+ab2C.1ab21a2bD.a2+ayt2;xtyt;x2y2;01xy的充分条件的是()A.B.C.D.11.下列结论正确的是()A.当x0时,x+1x2B.当x3时,x+1x的最小值是2C.当x0,y0,且2x+y=1,则2x+1y的最小值是912.已知关于x的不等式a34x2-3x+4b,则下列结论正确的是()A.当abb,a-1ab-1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若对任意xR,不等式ax2+ax+20恒成立,则实数a的取值范围为.15.某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流
4、量F(单位时间内经过测试点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同的速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)有关,其公式为F=57000vv2+18v+20l.(1)若l=6.05,则最大车流量为辆/时;(2)若l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/时.16.已知ab,不等式ax2+2x+b0对一切实数x恒成立.若存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,则a2+b2a-b的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在A=x|x2-2x-30,A=x|2x-2x+11,A=x|x-
5、1|0).(1)若“xA”是“xB”的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若“xA”是“xB”的必要条件,求实数m的取值范围.19.(本小题满分12分)已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)0,其中kR.(1)当k=2时,求不等式的解集A;(2)当k2时,求不等式的解集A;(3)当kR时,若不等式的解集A满足AZ=B(其中Z为整数集),则集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.20.(本小题满分12分)2020年年初,新冠肺炎疫情袭击全国,在党和国家强有力的抗疫领导下,我国控制住了疫情,之后一方面防止境外输入,另一方面
6、复工复产.某厂经调查测算,某种商品原来每件售价为25元,年销售量8万件.(1)据市场调查,该商品的售价每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,则该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并将定价提高到x元,公司拟投入16(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入15x万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的年销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和?并求出此时该商品的每件定价.21.(本小题满分12分)设y=ax2
7、+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2a-1(aR).22.(本小题满分12分)已知函数y=(m+1)x2-mx+m-1(mR).(1)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-10(mR)的解集为,求实数m的取值范围;(2)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-10的解集为D,且x|-1x1D,求实数m的取值范围.答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.D由(x+1)(2-x)0,解得x2.故选D.2.D因为正实数a,b满足a+kb=2(其中k为正常数),所以akba+kb22=1,当且仅当
8、a=kb=1时取等号,所以ab1k.因为ab的最大值为3,所以1k=3,所以k=13.故选D.3.B若命题“xR,x2+(a-1)x+10”是假命题,则命题“xR,x2+(a-1)x+10”是真命题,故=(a-1)2-40,解得-1a3.故选B.4.D当a=0时,10,=4a2-4a0,解得00,x+10,由1x+3+1y=12,得y=2x+6x+1,x+y=x+2x+6x+1=x+2(x+1)+4x+1=x+2+4x+1=(x+1)+4x+1+12(x+1)4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,x+y的最小值为5.6.Aab=2(a+b)+5,a+b=ab-52.
9、a0,b0,a+b=ab-522ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,ab25,y=(a+b-4)(12-a-b)=ab-52-412-ab-52=-14(ab-21)2+16,ymax=12.故选A.7.D设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t,则at2+bt+c=0,bt2+ct+a=0,ct2+at+b=0.+,得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0,(a+b+c)(t2+t+1)=0.t2+t+1=t+122+340,a+b+c=0,a+b=-c,a2bc+b2ca+c2ab=a3+b3+c3abc=a3+b3-(a+b)3abc=a3+b3-(a3+3a2b+
10、3ab2+b3)abc=-3ab(a+b)abc=-3ab(-c)abc=3.故选D.8.C因为4(a+b)=4ab+3,所以4ab-4a-4b+3=0,所以4ab-4a-4b+4=1,即ab-a-b+1=14,亦即(1-a)(1-b)=14.令x=1-a0,y=1-b0,则a=1-x,b=1-y,y=14x,所以a+2b=1-x+2(1-y)=-x-2y+3=-x-12x+3=-x+12x+3-2x12x+3=3-2当且仅当x=12x,即x=22时,等号成立.故a+2b的最大值为3-2.故选C.二、多项选择题9.ABD当ab0时,ab1不成立;当ab0时,ab+ba2不成立;因为1ab2-1
11、a2b=a-b(ab)20,所以1ab21a2b一定成立;因为a2-b2+a-b=(a-b)(a+b+1)的符号不确定,所以a2+ayt2可知,t20,所以xy,因此xt2yt2是xy的充分条件.由xtyt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小,故xtyt不是xy的充分条件.令x=-2,y=1,满足x2y2,但xy2不是xy的充分条件.由01x0,y0,1x-1y0,即y-xxy0,所以y-xy.因此01xy的充分条件.故选AD.11.AD对于选项A,当x0时,x0,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于选项B,当x0时,x+1x2x1x=2,当且仅当x=1时取等号,
12、但x3,等号取不到,因此x+1x的最小值不是2,故B错误;对于选项C,因为x0,所以2x-1+42x-3=-3-2x+43-2x+2-2(3-2x)43-2x+2=-2,当且仅当3-2x=43-2x,即x=12时取等号,故C错误;对于选项D,因为x0,y0,2x+y=1,所以2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2yx+2xy5+22yx2xy=9,当且仅当2yx=2xy,即x=y=13时取等号,故D正确.故选AD.12.AD由34x2-3x+4b,可得3x2-12x+16-4b0,因为b1,所以=(-12)2-43(16-4b)=48(b-1)0,所以不等式a34x2-3x+4b的解集为,
13、故A正确.在同一平面直角坐标系中作出函数y=34x2-3x+4=34(x-2)2+1的图象以及直线y=a和直线y=b,如图所示,设直线y=a与函数图象交于点C,D(C在D的左侧),直线y=b与函数图象交于点A,B(A在B的左侧),由图可知,当a=2时,不等式a34x2-3x+4b的解集可以写成x|xAxxCx|xDxxB的形式,故B错误.令y=34x2-3x+4,由不等式a34x2-3x+4b的解集恰好为x|axb,可知aymin,即a1,且当x=a,x=b时,函数y=34x2-3x+4的值都是b.由34b2-3b+4=b,解得b=43或b=4.当b=43时,由34a2-3a+4=b=43,解
14、得a=43或a=83,不满足a1,不符合题意,故C错误.当b=4时,由34a2-3a+4=b=4,解得a=0或a=4(舍去),此时b-a=4-0=4,故D正确.故选AD.三、填空题13.答案ab0解析因为a-1ab-1b,所以a-1a-b-1b=(a-b)(ab+1)ab0.又ab,即a-b0,所以ab+1ab0,从而ab(ab+1)0,所以ab0.14.答案0a8解析当a=0时,不等式ax2+ax+20化为20,满足题意;当a0时,需满足a0,0,即a0,a2-8a0,解得00,4-4ab0a0,ab1.存在x0R,使ax02+2x0+b=0成立,4-4ab0ab1.ab=1,且a0,从而b
15、0.ab,a-b0,a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b22,当且仅当a-b=2,即a=6+22,b=6-22时,等号成立.故a2+b2a-b的最小值为22.四、解答题17.解析选.易知A=x|x2-2x-30=(-1,3),(2分)UA=(-,-13,+).(4分)又B=0,4),AB=0,3),(7分)(UA)B=(-,-10,+).(10分)选.易知A=x|2x-2x+11=(-1,3),(2分)UA=(-,-13,+),(4分)又B=0,4),AB=0,3),(7分)(UA)B=(-,-10,+).(10分)选.易知A=x|x-1|0,(6分)解得m4,m
16、4,+).(8分)(2)“xA”是“xB”的必要条件,BA,-11-m,1+m5,m0,(10分)解得00,即(x-4)20,解得x4.故不等式的解集A=(-,4)(4,+).(2分)(2)当k=0时,不等式可化为x-40,解得x0.当k0且k2时,40得xk+4k,故A=(-,4)k+4k,+.(5分)当k0时,k+4k0得k+4kx0且k2时,A=(-,4)k+4k,+;当k0时,A=k+4k,4.(8分)(3)由(1)(2)知当k0时,集合B中的元素的个数无限;当k0时,集合B中的元素的个数有限,所以集合B能为有限集.(9分)当k0时,k+4k-4,当且仅当k=4k,且k0,即k=-2时
17、取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,(10分)此时不等式可化为(x+4)(x-4)25时,不等式ax258+50+16(x2-600)+15x成立,(6分)等价于x25时,a150x+16x+15有解.(8分)因为150x+16x+152150x16x+15=10.2,当且仅当150x=16x,即x=30时,等号成立,所以a10.2.(10分)故当该商品改革后的年销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的年销售收入不低于原年收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.(12分)21.解析(1)ax2+(1-a)x+a-2-2对一切实数x恒成立等价于ax2+(1-a)x+
18、a0对于一切实数x恒成立.(1分)当a=0时,不等式可化为x0,不满足题意;(3分)当a0时,需满足a0,(1-a)2-4a20,解得a13.(5分)所以实数a的取值范围是a|a13.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2a-1即ax2+(1-a)x-10.当a=0时,不等式可化为x1,所以不等式的解集为x|x0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)0,此时-1a1,所以不等式的解集为x-1ax1.(8分)当a0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)0,当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为x|x1;(9分)当-1a1,不等式的解集为x|x-1a;(10分)当a-1时,-1a1,不
19、等式的解集为x|x1.(11分)综上所述,当a-1时,不等式的解集为x|x1;当a=-1时,不等式的解集为x|x1;当-1a0时,不等式的解集为x|x-1a;当a=0时,不等式的解集为x|x0时,不等式的解集为x-1ax0,=(-m)2-4(m+1)(m-1)0,解得m233.(4分)综上,实数m的取值范围是233,+.(6分)(2)由题意得,对任意的x-1,1,不等式(m+1)x2-mx+m-10恒成立,即对任意的x-1,1,m(x2-x+1)-x2+1恒成立.x2-x+1=x-122+340恒成立,对任意的x-1,1,m-x2+1x2-x+1=-1+2-xx2-x+1恒成立,m-x2+1x2-x+1max,x-1,1.(8分)设t=2-x,则t1,3,x=2-t,2-xx2-x+1=t(2-t)2-(2-t)+1=tt2-3t+3=1t+3t-3,t+3t23,当且仅当t=3时取等号,2-xx2-x+1123-3=23+33,当且仅当x=2-3时取等号,(10分)当x=2-3时,-x2+1x2-x+1取得最大值,最大值为-1+23+33=233,实数m的取值范围是233,+.(12分)
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