1、2.2.2等差数列的前n项和1理解等差数列前n项和公式的推导过程2掌握等差数列前n项和公式，并能利用前n项和公式解决有关等差数列的实际问题3熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量1等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn_Sn_(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式(2)等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组(3)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn来求和，用此
2、公式时常结合等差数列的性质(4)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Snna1d来求和【做一做11】已知数列an为等差数列，a135，d2，Sn0，则n等于()A33 B34 C35 D36【做一做12】等差数列an的前n项和为Sn，若a3a1710，则S19的值为()A55 B95 C100 D不能确定2等差数列前n项和公式与函数的关系由于Snna1dn2(a1)n，当d0时，此公式可看做二次项系数为，一次项系数为(a1)，常数项为0的_，其图象为抛物线yx2(a1)x上的点集，坐标为(n，Sn)(nN)因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d0时，Sn有最_值；当d0时，Sn有最_
3、值数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用【做一做21】已知等差数列an的通项公式an192n，则an的前_项和最大【做一做22】已知数列an的前n项和Snn212n，则当n等于_时，Sn最小一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列an有偶数项时，设项数为2n，设S偶a2a4a6a2n，S奇a1a3a5a2n1，得S偶S奇nd.，得S偶S奇S2n.，得.(2)当等差数列an有奇数项时，设项数为2n1，设S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2n，得S奇S偶a1ndan1.，得S偶S奇S2n1(2n1)an1.，得.综
4、上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：(1)项数为2n时，S偶S奇nd，S偶S奇S2n，.(2)项数为2n1时，S奇S偶a1ndan1，S偶S奇S2n1(2n1)an1，.熟练运用这些性质，可以提高解题速度除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若Sn为数列an的前n项和，则an为等差数列等价于是等差数列若an，bn都为等差数列，Sn，Sn为它们的前n项和，则.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值因为该数列的通项公式为a
5、n4n32，其各项为28，24，4,0,4，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1如果已知数列an的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式an来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式2如果一个数列的前n项和的公式是Snan2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n项和公式可以变形为Snn2(a1)n.当d0时，是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是Sn
6、an2bnc(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an只有当c0时，a1abc才满足an2anab.因此，当数列的前n项和公式为Snan2bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d2a.题型一 等差数列的前n项和公式的直接应用【例1】在等差数列an中，(1)已知a1030，a2050，Sn242，求n；(2)已知S824，S1284，求a1和d；(3)已知a620，S510，求a8和S8；(4)已知a163，求S31.分析：在等差数列的前n项和公式中有五个基本量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量反思：在等差数列an中，首项a1与公差d是两个
7、最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a1，d的方程或方程组求解解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质题型二 Sn与an的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN，求an的通项公式分析：由a1S1，求a1.由an1Sn1Sn确定an1与an的关系，再求通项an.反思：利用an求an时，切记验证n1时的情形是否符合n2时an的表达式题型三 等差数列前n项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊
8、项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系反思：在等差数列an中，(1)若项数为2n1(nN)，则，其中S奇(n1)an1，S偶nan1；(2)若数列项数为2n(nN)，则S偶S奇nd.题型四 等差数列前n项和的最值问题【例4】在等差数列an中，a125，S17S9，求Sn的最大值分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n，使an0，an10或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项反思：本例四种解法从四个侧面求解前n项和最值问题，方法迥异，殊途同归解等差数列的前n项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于Snn2(a1)n是关于n的二次式，因此可用二次函数的
9、最值来确定Sn的最值，但要注意这里的nN.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn达到最大(或最小)(3)通项法：由于SnSn1an，所以当an0时，SnSn1；当an0时，SnSn1，因此当a10且d0时，使an0的最大的n的值，使Sn最大；当a10，d0时，满足an0的最大的n的值，使Sn最小题型 五易错辨析【例5】若数列an的前n项和为Sn3n22n1，求数列an的通项公式，并判断它是否为等差数列错解：anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5，an1an6(n1)5(6n5)6(常数)数列an是等差数列错因分析：本题忽略了anSnSn1成立的条件“
10、n2”【例6】已知两个等差数列an与bn，它们的前n项和的比，求.错解：设Snk(n3)，Snk(n1)，则1.错因分析：本题由于错误地设出了Snk(n3)，Snk(n1)，从而导致结论错误1已知在等差数列an中，a27，a415，则前10项的和S10等于()A100 B210 C380 D4002已知数列an的前n项和Sn，则a3等于()A B C D3等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A130 B170 C210 D2604设数列an是等差数列，且a26，a86，Sn是数列an的前n项和，则()AS4S5 BS4S5 CS6S5 DS6S55设数列an
11、的前n项和为Sn223n，则通项公式an_.6设公差不为零的等差数列an，Sn是数列an的前n项和，且S9S2，S44S2，则数列an的通项公式为_答案：基础知识梳理1na1d【做一做11】D由公式Snna1d，得到35n(2)0，即n236n0，解得n36或n0(舍去)【做一做12】B2二次函数小大【做一做21】9【做一做22】6典型例题领悟【例1】解：(1)由得Sn242，12n2242.解得n11或n22(舍去)n11.(2)由得a14，d2.(3)由得a8a62d32，S888.(4)S3131a163193.【例2】解：由a1S1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1S
12、11，知a12.又由an1Sn1Sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an，因an0，故an1an不成立，舍去因此an1an3，从而an是公差为3，首项为2的等差数列，故an的通项为an3n1.【例3】解：设等差数列an共有(2n1)项，则奇数项有(n1)项，偶数项有n项，中间项是第(n1)项，即an1.，得n3.2n17.又S奇(n1)an144，an111.故这个数列的中间项为11，共有7项【例4】解：解法一：由S17S9，得2517(171)d259(91)d，解得d2，Sn25n(n1)(2)(n13)2169，由二次函数的性质得当n13时，Sn有最
13、大值169.解法二：先求出d2(解法一)a1250，由得当n13时，Sn有最大值169.解法三：先求出d2(同解法一)由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.d20，a10，a130，a140.故n13时，Sn有最大值169.解法四：先求出d2(同解法一)得Sn的图象如图所示，由S17S9知图象的对称轴n13，当n13时，Sn取得最大值169.【例5】正解：当n2时，anSnSn1(3n22n1)3(n1)22(n1)16n5.当n1时，a1S12，an数列an不是等差数列【例6】正解1：利用等差数列的性质，得.正解2：设Sn
14、kn(n3)，Snkn(n1)，所以.随堂练习巩固1Bd4，a13，所以S10210.2A3C令m1，则SmS1a130，S2mS2a1a2100，则有a130，a270，d40，则a3110，故S3mS3S2a3100110210.4B方法一：设该等差数列的首项为a1，公差为d，则有解得从而有S420，S520，S618.从而有S4S5.方法二：由等差数列的性质知a5a5a2a8660，所以a50，从而有S4S5.543n1当n1时，a1S122314.当n2时，anSnSn1(223n)(223n1)43n1.此时对n1，有a143114，也适合综上，对nN，an43n1.6an(2n1)设数列an的公差为d(d0)，首项为a1，由已知得解得a1，d或a1d0(舍去)ana1(n1)d(n1)(2n1)
