1、课时素养检测二十二函数奇偶性的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.下面四个结论:偶函数的图象一定与y轴相交;奇函数的图象一定过原点;偶函数的图象关于y轴对称;没有一个函数既是奇函数,又是偶函数.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.函数y=是偶函数,但不与y轴相交,故错;函数y=是奇函数,但不过原点,故错;函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数,故错.2.若函数f(x)=为奇函数,则a等于()A.B.C.D.1【解析】选A.函数f(x)的定义域为.又f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,所以a=.【补偿训练】已知f(x)是偶函数,且在区间(0,+)上
2、是增函数,则f(-0.5),f(-1),f(0)的大小关系是()A.f(-0.5)f(0)f(-1)B.f(-1)f(-0.5)f(0)C.f(0)f(-0.5)f(-1)D.f(-1)f(0)f(-0.5)【解析】选C.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1).又因为f(x)在区间(0,+)上是增函数,所以f(0)f(0.5)f(1),即f(0)f(-0.5)f(-1).3.设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选A.F(-
3、x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(-x)=-F(x),符合奇函数的定义.4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为()A.-2B.2C.1D.0【解析】选A.由题图知f(1)=,f(2)=,又f(x)为奇函数,所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-=-2.5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是() A.f(x)+|g(x)|是偶函数B.f(x)-|g(x)|是奇函数C.|f(x)|+g(x)是偶函数D.|f(x)|-g(x)是奇函数【解析】选A.由f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),由g(x)
4、是奇函数,可得g(-x)=-g(x),故|g(x)|为偶函数,所以f(x)+|g(x)|为偶函数.6.如图是偶函数y=f(x)的局部图象,根据图象所给信息,下列结论正确的是()A.f(-2)-f(6)=0B.f(-2)-f(6)0C.f(-2)+f(6)0【解析】选B.由图象可知,f(2)f(6),又因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),所以f(-2)-f(6)0.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设奇函数f(x)的定义域为-5,5.若当x0,5时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)0的解是_.【解析】由于f(x)是奇函数,所以图象关于原点成中心对称,画出f(x)在定义域范
5、围内的图象如图所示,易得f(x)0的解集是(-2,0)(2,5.答案:(-2,0)(2,58.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则k=_.【解析】因为f(x)是偶函数,所以k-1=0,即k=1.答案:1【补偿训练】函数f(x)=ax3+2bx+a-b是奇函数,且其定义域为3a-4,a,则f(a)=_.A.4B.3C.2D.1【解析】因为奇函数的定义域为3a-4,a,所以3a-4+a=0,得4a=4,a=1,则f(x)=x3+2bx+1-b,又f(0)=0,得f(0)=1-b=0,则b=1,即f(x)=x3+2x,则f(a)=f(1)=1+2=3.答案:3三、解答题(每小
6、题10分,共20分)9.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2(x2+2).(2)f(x)=x|x3-x|.【解析】(1)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R,f(-x)=(-x)2(-x)2+2=x2(x2+2)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)为偶函数.(2)f(x)的定义域为R,f(-x)=-x|(-x)3+x|=-x|-x3+x|=-x|x3-x|=-f(x)所以f(x)为奇函数.10.已知奇函数f(x)=(1)求实数m的值,并画出y=f(x)的图象.(2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,试确定a的取值范围.【解析】(1)当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-x2-2x,所以f(x)=x2+2x,所以m=2.y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知f(x)=由图象可知,f(x)在-1,1上单调递增,要使f(x)在-1,a-2上单调递增,只需解得1a3.