1、第2讲三角函数的图象变换及应用考纲展示命题探究1用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)(0，A0)在一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A02yAsin(x)(A0，0，x0，)的物理意义yAsin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动量时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相，叫做角速度3三角函数的图象变换及其应用由函数ysinx的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的步骤注意点yAsin(x)(A0，0)中各个字母的含义A所起的作用是图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变化为原来的A倍，简称为
2、振幅变换；所起的作用是图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标变化为原来的倍，简称为周期变换；所起的作用是将函数图象左右平移个单位，简称为相位变换. 1思维辨析(1)函数f(x)Asin(x)中的一定大于零()(2)由ysin得ysin只需向左平移个单位()(3)yksinx1(xR)，则ymaxk1.()(4)若sinx，则x.()答案(1)(2)(3)(4)2要得到函数f(x)cos的图象，只需将函数ycos2x的图象()A向右平移个单位长度B向左平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度答案A解析f(x)coscos由函数图象平移规律可知A正确3已知函数f(x)sin(0)的最小正
3、周期为，则该函数的图象()A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称答案A解析由T知2，函数f(x)sin.函数f(x)的对称轴满足2xk(kZ)，解得x(kZ)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2xk(kZ)，解得x(kZ)考法综述函数yAsin(x)图象的变换以及根据图象和简单性质确定A、的取值为高考中的一个热点，主要考查考生识图、辨图的能力及三角的恒等变换问题，题型多以客观题为主，且难度不大，属中低档题有时也作为解答题中的一问或某一环节中有所涉及命题法函数yAsin(x)的图象变换及解析式求法典例(1)为了得到函数ysin3xcos3x的图象，可以将函数ycos3x的
4、图象()A向右平移个单位 B向左平移个单位C向右平移个单位 D向左平移个单位(2)如图是函数yf(x)Asin(x)2(A0，0，|)的图象的一部分，则函数f(x)的解析式为_解析(1)因为ysin3xcos3xcos，要得到函数ycos的图象，可以将函数ycos3x的图象向右平移个单位，故选C.(2)由图象知，A1，则T，由2k，kZ，得2k，kZ.又|0，0)的方法求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则A，B.求，已知函数的周期T，则.求，常用方法有：a代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，B已知)，或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)b五点法：
5、确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为x0，“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.(2)关于三角函数的图象变换的方法平移变换a沿x轴平移：由yf(x)变为yf(x)时，“左加右减”，即0，左移；0，上移；k0，下移伸缩变换a沿x轴伸缩：由yf(x)变为yf(x)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍b沿y轴伸缩：由yf(x)变为yAf(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍1要得到函数ysin的图象，只需
6、将函数ysin4x的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案B解析ysinsin，故要将函数ysin4x的图象向右平移个单位故选B.2下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos BysinCysin2xcos2x Dysinxcosx答案A解析采用验证法由ycossin2x，可知该函数的最小正周期为且为奇函数，故选A.3.将函数f(x)sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.答案D解析由已知得g(x)sin(2x2)，满足|
7、f(x1)g(x2)|2，不妨设此时yf(x)和yg(x)分别取得最大值与最小值，又|x1x2|min，令2x1，2x22，此时|x1x2|，又0，故，选D.4已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)f(2)故选A.5.若将函数f(x)sin的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案解析把函数f(x)sin的图象向右平移个单位，得到f(x)sinsin的图象由于f(x)sin的图象关于y
8、轴对称，所以2k，kZ.即，kZ.当k1时，的最小正值是.6某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)(0，|0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysinx的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.三角函数的图象与性质三角函数正弦函数ysinx余弦函数ycosx正切函
9、数ytanx图象定义域RR值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是递增函数，在2k，(kZ)上是递减函数在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(kZ)上是递增函数最值当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(kZ)对称中心
10、是(kZ)注意点正切函数的单调区间正切函数ytanx在定义域上不是单调函数，但存在单调区间，即，kZ为其单调递增区间. 1思维辨析(1)正弦函数ysinx在其任一周期内都只有一个增区间，一个减区间()(2)余弦函数ycosx的对称轴是y轴()(3)正切函数ytanx在定义域内是增函数()(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期()答案(1)(2)(3)(4)2将函数ysinx的图象向左平移(02)个单位后，得到函数ysin的图象，则等于()A. B.C. D.答案B解析将函数ysinx的图象向左平移个单位后，得到ysin(x)的图象，所以2k(kZ)
11、，又00，A0)的性质及应用典例已知函数f(x)sinsin2cos2，xR(其中0)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数f(x)的单调递增区间解(1)f(x)sinxcosxsinxcosx(cosx1)212sin1.由1sin1，得32sin11，所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f(x)的周期为，所以，即2.所以f(x)2sin1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间为(kZ)【解题法】三角函数性质问题的解题策略(1)三角函数的单调性问题的常见类型及
12、解题策略已知三角函数解析式求单调区间a求函数的单调区间应遵循简单化原则：将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”b求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(2)求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法形如yasinxbcosxc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)形如yasin2xbsinxc的三角函数，可先设sinxt，化为关于t的二次函数求值域(最值)形如yas
13、inxcosxb(sinxcosx)c的三角函数，可先设tsinxcosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法若f(x)Asin(x)为偶函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)取得最大或最小值若f(x)Asin(x)为奇函数，则k(kZ)，同时当x0时，f(x)0.求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为yAsin(x)，yAcos(x)，yAtan(x)的形式，再分别应用公式T，T，T求解对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称
14、轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断1.函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案D解析由图象可知2m，2m，mZ，所以，2m，mZ，所以函数f(x)coscos的单调递减区间为2kx2k，kZ，即2kx2k，kZ，故选D.2函数f(x)sin(x2)2sincos(x)的最大值为_答案1解析f(x)sin(x2)2sincos(x)sin(x)2sincos(x)sin(x)coscos(x)sin2sincos(x)sin(x)coscos(x)sinsin(x)sinx.f(x)max1.3已知函数f
15、(x)sin2xsin2，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cos2xsin2xcos2xsin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)解法一：因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，f，f，f.所以，f(x)在区间上的最大值为，最小值为.解法二：由x得2x，故当2x，x时，f(x)取得最小值为，当2x，x时，f(x)取最大值为.4已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值解(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正
16、周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因得k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由得0，所以cos.因此cossinsinsincoscossin.5已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1)求m，n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点和，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(
17、x)sin2xcos2x2sin.由题意知g(x)f(x)2sin.设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin1，因为00，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D0,2错解 错因分析不能准确利用集合的关系，把问题进行等价转化是求解的关键，利用正弦函数的单调性，确定f(x)的单调减区间，由题意可知为其子区间正解结合ysinx的图象可知ysinx在上单调递减，而ysinsin，可知ysinx的图象向左平移个单位之后可得ysin的图象，故ysin在单调递减，故应
18、有，解得.答案A心得体会时间：60分钟基础组1.2016衡水二中仿真已知为锐角，且有2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin的值是()A. B.C. D.答案C解析2tan()3cos50化简为2tan3sin50，tan()6sin()10化简为tan6sin10.由消去sin，解得tan3.又为锐角，根据sin2cos21，解得sin.22016衡水中学周测若函数ycos2x与函数ysin(x)在上的单调性相同，则的一个值为()A. B.C. D.答案D解析易知ycos2x在区间上单调递减，因为ysin(x)在上单调递减，则x，kZ，经验证，得符合题意，故选D.320
19、16冀州中学期末为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度答案A解析ysin(2x1)sin，需要把ysin2x图象上所有的点向左平移个单位长度即得到ysin(2x1)的图象故选A.42016衡水中学预测设函数f(x)sin(2x)cos(2x)(|)，且其图象关于直线x0对称，则()Ayf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Byf(x)的最小正周期为，且在上为减函数Cyf(x)的最小正周期为，且在上为增函数Dyf(x)的最小正周期为，且在上为减函数答案B解
20、析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，函数图象关于直线x0对称，函数f(x)为偶函数，k(kZ)|，f(x)2cos2x，T.0x，02x，函数f(x)在上为减函数故选B.52016枣强中学热身函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为()A BC. D.答案A解析函数f(x)sin(2x)向左平移个单位得ysinsin2x，又其为奇函数，则k，kZ，解得k，kZ.又|0，|，xR的部分图象如图所示，则函数的表达式为()Ay4sin By4sinCy4sin Dy4sin答案B解析由图象的最高点为4，最低点为4，可确定|A|4.结合正弦
21、型函数的特征可知A4，T16，又f(6)0，|0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析由f(x)在区间上具有单调性，且ff知，f(x)有对称中心，由ff知f(x)有对称轴x.记f(x)的最小正周期为T，则T，即T.故，解得T.112016衡水二中月考已知函数f(x)sinxcosxcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值解(1)因为f(x)sin2xcos2xsin，所以T，故f(x)的最小正周期为.2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ，则函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2
22、)因为0x，所以2x，所以当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x0时，f(x)有最小值1.122016武邑中学热身已知向量a(sinx,2cosx)，b(2sinx，sinx)，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)f(x)ab2sin2x2sinxcosx2sin2xsin1，由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)由题意g(x)sin1sin1，由x得2x，0g(x)1，即g(x)的最大值为1，最小值为0.能力组13. 20
23、16衡水二中热身已知函数f(x)Asin(x)在一个周期内的图象如图所示若方程f(x)m在区间0，上有两个不同的实数解x1，x2，则x1x2的值为()A. B.C. D.或答案D解析要使方程f(x)m在区间0，上有两个不同的实数解，只需函数yf(x)与函数ym的图象在区间0，上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x或关于直线x对称，因此x1x22或x1x22.14. 2016武邑中学期末把函数ysin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数yf(x)的图象，对于函数yf(x)有以下四个判断：该函数的解析式为y2sin；该函数图象关于点对称；该函数在
24、上是增函数；函数yf(x)a在上的最小值为，则a2.其中，正确判断的序号是_答案解析将函数ysin2x的图象向左平移得到ysinsin的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y2sin的图象，所以不正确yf2sin2sin0，所以函数图象关于点对称，所以正确由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，即函数的单调增区间为，kZ，当k0时，增区间为，所以不正确yf(x)a2sina，当0x时，2x，所以当2x，即x时，函数取得最小值，ymin2sinaa，所以a2.所以正确所以正确的判断为.15. 2016衡水二中预测已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1)若0，且sin，求f()的值；(2
25、)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解解法一：(1)因为0，sin，所以cos.所以f().(2)因为f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.解法二：f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin.(1)因为00)，其图象与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间解(1)函数f(x)sin4sin2x2sin2xcos2x42sin2xcos2xsin(0)，根据函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数f(x)的最小正周期为T2，得1，故函数f(x)的解析式为f(x)sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m0)个长度单位得到函数g(x)sinsin的图象根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin0，即sin0，所以2mk(kZ)，m(kZ)，因为m0，所以当k0时，m取得最小值，且最小值为.此时，g(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，故函数g(x)的单调递增区间为，kZ.结合x，可得g(x)在上的单调递增区间为和.