1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修5第二章 数 列成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5数 列 第二章 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5章末归纳总结第一章 第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专 题 研 究 4知 识 结 构 1学 后 反 思 2规 律 总 结 3解 题 模 板 5第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5知 识 结 构第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5第二章 章末归纳总结成才之路 高中新
2、课程 学习指导 人教B版 数学 必修5学 后 反 思第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修51学习要求(1)理解数列的概念，能用函数的观点认识数列，了解数列的通项公式和递推公式的意义，会根据数列的通项公式写出数列的任意一项，会根据数列的递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单的问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和前n项和的公式，并能运用公式解决一些简单问题第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52需要注意的问题(1)注意数列与函数的联系
3、，通过相应的函数及其图象的特征直观地去认识数列的性质(2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5规 律 总 结第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修51等差数列与等比数列作为解决一般数列的一种最基本的“工具”，可以从以下几方面去把握：(1)计算问题这是一种既简单又基本的题型，要求灵活运用概念和性质探求数列中的某些项、公差或公比、通项公式、前n项的和等特别地，在等差(或等比)数列an中，对于a1、an、n、Sn、d(或q)这五个量，知
4、道其中三个量，可求另外两个量，这是一种方程思想第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)设数问题要注意设元技巧如三数成等差数列，可设为 ad，a，ad；若四数成等差数列，可设为 a3d，ad，ad，a3d；若三数成等比数列，可设为aq，a，aq；若四数成等比数列，可设为 aq3，aq，aq，aq3，但要注意四数的公比为 q20.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(3)转化思想熟练掌握等差、等比数列的有关知识，同时要善于把非等差、非等比问题转化为等差、等比数列来处理，即把一般数列转化为特殊数列来处理(4)综合问题将数列
5、与函数、方程、不等式结合起来，考查数列知识的灵活运用能力，这一题型要求比较高，是近年高考命题的一种趋势第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52求数列通项公式的常用方法(1)观察归纳法：给定一个数列的前几项，用不完全归纳法猜测出数列的一个通项公式(2)公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法常用的公式有anSnSn1(n2)，等差数列和等比数列的通项公式(3)累加法：利用恒等式ana1(a2a1)(anan1)求通项公式的方法称为累加法累加法是求形如an1anf(n)的递推数列的通项公式的基本方法(其中数列f(n)可求前n项和)第二章 章末归纳总结成才
6、之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(4)累乘法：利用恒等式 ana1a2a1a3a2 anan1(an0)求通项公式的方法称为累乘法累乘法是求形如 an1g(n)an 的递推数列的通项公式的基本方法(数列g(n)可求前 n 项积)(5)构造法：形如 an1panq(p，q0，且 p1)的递推数列，可构造等比数列an qp1，其中该等比数列的首项是 a1 qp1，公比为 p.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修53数列求和的常用方法(1)公式法公式法是数列求和最常用的方法之一，可直接利用等差数列、等比数列的求和公式，也可利用常见的求前 n 项和
7、的公式本章常见公式如下：正整数构成的数列n的前 n 项和公式：123nnn12.正整数的平方构成的数列n2的前 n 项和公式：122232n216n(n1)(2n1)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)倒序相加法对于满足性质 a1ana2an1a3an2的数列求和，均可用倒序相加法(3)裂项相消法对于形如1anan1或1anan2(其中数列an是公差 d0 的等差数列)的数列求和，可利用裂项相消法借助1anan11d(1an1an1)或1anan2 12d(1an 1an2)将和式中各项裂项，然后合并同类项即可第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程
8、 学习指导 人教B版 数学 必修5常见的拆项方法有：1nn11n 1n1；1n n1 n1 n；1nn1n2121nn11n1n2第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(4)错位相减法对于形如anbn(其中an是等差数列，bn是等比数列)的数列求和，可用错位相减法，即将数列anbn的每一项分别乘以数列bn的公比，然后与原和式错位相减，即可得到一等比数列的前n项和式，求和化简即可(5)拆项分组法若数列的通项公式可分解为若干个可求和的数列，则将数列通项公式分解，分别求和，最终达到求和目的第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专
9、 题 研 究第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专题一 数列的通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前n项和求数列的通项公式是数列的核心问题之一现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修51观察法根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式(1)1,1，57，715，931，；(2)3,0，3,0,3，.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指
10、导 人教B版 数学 必修5解析(1)数列 1,1，57，715，931，；即11，33，57，715，931，由于分子是等差数列2n1的各项，分母是数列2n1的各项，an2n12n1(nN*)(2)所求数列的通项可转化为数列 1,0，1,0,1，的通项，这恰好是“五点法”作三角函数的图象的值，从而 an3sinn2(nN*)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52定义法等差数列an是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比数列，S5a25.求数列an的通项公式解析 设数列an公差为 d(d0)，a1，a3，a9 成等比数列，a23a1a9
11、，即(a12d)2a1(a18d)，d2a1d.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5d0，a1d.S5a25，5a1542 d(a14d)2.由得 a135，d35.an35(n1)3535n.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修53前n项和法(1)已知数列an的前n项和Snn23n1，求通项 an；(2)已知数列an的前n项和Sn2n2，求通项 an.解析(1)当 n2 时，anSnSn1n23n1(n1)23(n1)12n2，又 n1 时，a1S15 不满足上式an5n12n1n2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中
12、新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)当 n2 时，anSnSn12n22n122n1，又 n1 时，a1S14 不满足上式，an4n12n1n2.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修54累加法已知an中，a11，且an1an3n(nN*)，求通项 an.解析 an1an3n(nN*)，a2a13，a3a232，a4a333，anan13n1(n2)，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5以上各式相加得ana1332333n1313n1133n2 32，ana13n2 323n2 12(n2)又 a11 满足上式，
13、an3n2 12(nN*)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修55累乘法已知数列an，a113，前 n 项和 Sn 与 an 的关系是 Snn(2n1)an，求通项 an.解析 Snn(2n1)an，Sn1(n1)(2n3)an1(n2)，两式相减，得ann(2n1)an(n1)(2n3)an1(n2)，即(2n1)an(2n3)an1，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5 anan12n32n1.a2a115，a3a237，a4a359，anan12n32n1(n2)，以上各式相乘，得ana132n12n1，第二章 章
14、末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5又a113，an12n12n1(n2)a113满足上式，an12n12n1(nN*)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修56辅助数列法已 知 数 列 an 满 足 a1 1，an 1 3an 2(nN*)求数列an的通项公式解析 an13an2(nN*)，an113(an1)，an11an1 3(nN*)数列an1是以 a112 为首项，3 为公比的等比数列an123n1，an23n11(nN*)第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修57倒数法已知数列an中，a
15、11，an1 anan1(nN*)求通项 an.解析 an1 anan1，1an1an1an 1 1an，1an1 1an1(nN*)，第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5数列 1an是以 1a11 为首项，1 为公差的等差数列，1an1(n1)n.an1n.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5专题二 数列的前n项和的求法1分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版
16、 数学 必修5求和：Sn112214318(n 12n)解析 Sn112214318(n 12n)(123n)(121418 12n)nn12121 12n112nn121 12n.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修52裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1nnk1k(1n 1nk)；(2)若an为等差数列，公差为 d，则1anan11d(1an 1an1)；(3)1n1 n n1 n等第二
17、章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5已知数列an中，an1n1 n，前 n 项和 Sn9，求项数 n 的值解析 an1n1 n n1 n，Sna1a2an 21 3 2 n1 n n119，n1100，n99.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修53错位相减法若数列an为等差数列，数列bn是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为anbn，当求该数列的前n项的和时，常常采用将anbn的各项乘以等比数列bn的公比q，然后错位一项与anbn的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法第
18、二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2014江西理，17)已知首项都是 1 的两个数列an、bn(bn0，nN*)，满足 anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令 cnanbn，求数列cn的通项公式；(2)若 bn3n1，求数列an的前 n 项和 Sn.解析(1)因为 anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以an1bn1anbn2，即 cn1cn2.所以数列cn是以首项 c11，公差 d2 的等差数列，故cn2n1.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n
19、1.数列an前n项和Sn130331532(2n1)3n1.3Sn131332(2n3)3n(2n1)3n.相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n.所以Sn(n1)3n1.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修54分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 anSn1(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn3log4an，设 Tn|b1|b2|bn|，求 Tn.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5解析(1
20、)由 anSn1，得 an1Sn11，两式相减得anan1an0，2anan1，即 anan112(n2)又 n1 时，a1S11，a112.数列an是首项为12，公比为12的等比数列ana1qn112(12)n1(12)n.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5(2)解法一：bn3log4(12)n3n26n2.当 n6 时，bn0，Tnb1b2bnn11n4；当 n6 时，bn6 时，bn1，两边取常用对数得 lg(1an1)2lg(1an)，即lg1an1lg1an 2.lg(1an)是公比为 2 的等比数列(2)由(1)知 lg(1an)2n1lg(
21、1a1)2n1lg3lg32n1，1an32n1.Tn(1a1)(1a2)(1an)32032132232n1312222n132n1.an32n11.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5在一直线上共插有13面小旗，相邻两面间距离为10 m，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中在哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？思路分析 本题是走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程，然后求和第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导
22、人教B版 数学 必修5规范解答 设将旗集中到第x面小旗处，则从第一面旗到第x面旗处，共走路程为10(x1)m，然后回到第二面旗处再到第x面旗处路程为20(x2)m，从第x面旗处到第(x1)面处的路程为20 m，从第x面旗处到第(x2)面旗处取旗再到第x面旗处，路程为202 m，总的路程：第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5S10(x1)20(x2)20(x3)2022012020220(13x)10(x1)20 x1x222013x14x210(x1)(x2)(x1)(13x)(14x)10(2x229x183)20(x294)231154.由于 nN*，
23、当 x7 时，S 有最小值 Smin780(m)答：将旗集中到第 7 面小旗处，所走路程最短为 780 m.第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5已知数列an满足 an2an12n1(n2)，且a481.(1)求数列的前三项 a1，a2，a3；(2)是否存在一个实数，使得数列an2n 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5思路分析 根据题中所给的递推关系式，由 a481，首先得 a3，进而求出 a2，a1；第(2)问是探索性问题，假设存在实数，由等差数列的定义，可设an2n
24、 an12n1 为常数，化简后与 n 无关，看是否存在这样的；第(3)问数列求和，因an既不是等差数列，也不是等比数列，考虑应用(2)的结论转化为等差、等比数列求和问题解决第二章 章末归纳总结成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学 必修5规范解答(1)由 an2an12n1(n2)a42a324181，a333，同理可得 a213，a15.(2)假设存在实数 符合题意，则an2n an12n1 必为与 n 无关的常数an2n an12n1 an2an12n2n12n112n，要使an2n an12n1 是与 n 无关的常数，则12n 0，得 1，故存在实数 1，使得数列an2n 为等差数列
