1、第二章 圆锥曲线与方程21.2 椭圆的几何性质第二章 圆锥曲线与方程 1.了解研究椭圆几何性质的思想方法 2.掌握椭圆的简单几何性质 3.理解离心率对椭圆扁平程度的影响栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1椭圆的简单几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)范围axa，bybbxb，aya 对称性对称轴：_；对称中心：_ 焦点F1_，F2_F1_，F2_ 焦距|F1F2|_ 坐标轴(0，0
2、)2c(c，0)(c，0)(0，c)(0，c)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)顶点A1_，A2_；B1_，B2_A1_，A2_；B1_，B2_轴长长轴_，短轴_离心率e_(a，0)(a，0)(0，b)(0，b)(0，a)(0，a)(b，0)(b，0)|A1A2|2a|B1B2|2bca(0，1)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2.离心率对椭圆扁平程度的影响由 a2b2c2，a0，b0 得ba 1e2，故当椭圆的离心率越_，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越_
3、，则椭圆越趋近于圆趋近于1趋近于0栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的顶点是椭圆与它的对称轴的交点()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最大值为 ac.()(3)椭圆x2a2y2b21(ab0)的长轴长等于 a.()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2椭圆 6x2y26 的长轴端点坐标为()A(1，0)，(1，0)B(6，0)，(6，0)C(6，0)(6，0)D(0，6)，(0，6)答案：D栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程3椭圆 x24y
4、21 的离心率为()A.32 B34C.22D.23答案：A4设 P(m，n)是椭圆x225y291 上任意一点，则 m 的取值范围是_答案：5，5栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 椭圆的简单几何性质 求椭圆 4x29y236 的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】将椭圆方程变形为x29 y241，所以 a3，b2，所以 c a2b2 94 5.所以椭圆的长轴长和焦距分别为 2a6，2c2 5；焦点坐标为 F1(5，0)，F2(5，0)；顶点坐标为 A1(3，0)，A2(3
5、，0)，B1(0，2)，B2(0，2)；离心率 eca 53.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 将本例中椭圆方程改为 9x24y236，结果又将如何？解：因为椭圆的标准方程为x24 y291，所以 a29，b24，焦点在 y 轴上 所以顶点坐标为(0，3)，(2，0)，焦点坐标为(0，5)长轴长，焦距，离心率分别为 6，2 5，53.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程用标准方程研究椭圆几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式(2)确定焦点位置(3)求出 a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质 注意 长轴长、短轴长、焦
6、距不是 a，b，c，而应是 a，b，c 的两倍 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 1.对椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)和椭圆 C2：y2a2x2b21(ab0)的几何性质的表述正确的是()A范围相同B顶点坐标相同C焦点坐标相同D离心率相同栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程解析：选 D.椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)范围是axa，byb，顶点坐标是(a，0)，(a，0)，(0，b)，(0，b)，焦点坐标是(c，0)，(c，0)，离心率 eca；椭圆 C2：y2a2x2b21(ab0)范围是aya，b
7、xb，顶点坐标是(b，0)，(b，0)，(0，a)，(0，a)，焦点坐标是(0，c)，(0，c)，离心率 eca，只有离心率相同栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2设椭圆方程 mx24y24m(m0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标解：(1)当 0m4 时，长轴长和短轴长分别是 4，2 3，焦点坐标为 F1(1，0)，F2(1，0)，顶点坐标为 A1(2，0)，A2(2，0)，B1(0，3)，B2(0，3)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)当 m4 时，长轴长和短轴长分别为8 33，4
8、，焦点坐标为 F10，2 33，F20，2 33，顶点坐标为 A10，4 33，A20，4 33，B1(2，0)，B2(2，0)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 利用椭圆的几何性质求标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是 6，离心率是23；(2)在 x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解】(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)由已知得 2a6，所以 a3.又 eca23，所以 c2.所以 b2a2c2
9、945.所以椭圆的标准方程为x29 y251 或y29x25 1.(2)由题意知焦点在 x 轴上，故可设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，且两焦点为F(3，0)，F(3，0)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程如图所示，A1FA2 为等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 的中线，且|OF|c，|A1A2|2b，所以 cb3.所以 a2b2c218.所以所求椭圆的标准方程为 x218y291.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程求椭圆标准方程的常用方法(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常用待定系数法(2
10、)根据已知条件“选标准，定参数”其一般步骤为：确定焦点所在的坐标轴；求出 a2，b2 的值；写出标准方程 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，6)；(2)过点(3，0)，离心率 e 63.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程解：(1)由题意知 2a4b，所以 a2b.设椭圆标准方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)代入点(2，6)得，4a236b21 或36a2 4b21，将 a2b 代入得，a2148，b237 或 a
11、252，b213，故所求的椭圆的标准方程为 x2148y2371 或y252x2131.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程(2)当椭圆焦点在 x 轴上时，有 a3，ca 63，所以 c 6，所以 b2a2c2963，所以椭圆的标准方程为x29 y231.当椭圆焦点在 y 轴上时，有 b3，ca 63，栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程所以 a2b2a 63，所以 a227，所以椭圆的标准方程为x29 y2271.故所求椭圆的标准方程为 x29 y2271 或x29 y231.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自
12、主学习第二章 圆锥曲线与方程 求椭圆的离心率 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13 B.12C.23D.34栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程【解析】法一：不妨设直线 l 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线 l 的方程为 bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，解得 b23c2，又 b2a2c2，所以c2a214，即 e214，所以 e12或 e12(舍去)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程法二：不妨设直线 l
13、 过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(c，0)，b0，c0，则直线 l 的方程为 bxcybc0，由已知得bcb2c2142b，所以bca 142b，所以 eca12.【答案】B栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知 a，c 可直接利用 eca求解若已知 a，b 或 b，c 可借助于 a2b2c2 求出 c 或 a，再代入公式 eca求解(2)方程法：若 a，c 的值不可求，则可根据条件建立 a，b，c 的关系式，借助于 a2b2c2，转化为关于 a，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次
14、幂，得到关于 e 的方程或不等式，即可求得 e 的值或范围 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程 A 为 y 轴上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，AF1F2 为正三角形，且 AF1 的中点 B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为_栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程解析：如图，连接 BF2.因为AF1F2为正三角形，且 B 为线段 AF1的中点 所以 F2BBF1.又因为BF2F130，|F1F2|2c，所以|BF1|c，|BF2|3c，由椭圆定义得|BF1|BF2|2a，即 c 3c2a，所以ca 31.所以椭圆的离心
15、率 e 31.答案：31栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1椭圆的几何性质的分类椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标无关的本身固有性质如长轴长，短轴长，焦距，离心率等，它反映了椭圆的大小范围、对称性、扁平程度等；另一类是与坐标有关的性质，如顶点、焦点等，它反映了椭圆及其特殊点的平面位置栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2椭圆中的两个重要三角形(1)椭圆上任意一点 P(x，y)(y0)与两焦点 F1、F2 构成的PF1F2 称为焦点三角形，周长为 2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形
16、，称为椭圆的特征三角形，边长满足 a2b2c2.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程已知椭圆的标准方程可确定椭圆的性质，反过来，已知椭圆的部分性质，也可确定椭圆的方程，其关键是确定焦点的位置，设出椭圆的标准方程，再由性质确定 a、b 的值充分利用 a、b、c 之间的关系，其中 a2b2c2 是隐含条件，要高度重视当方程有两种形式时，应分别求解栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程1椭圆x29 y2251 的焦距为()A8 B4C.7D2 7解析：选 A.a225，b29，所以 c a2b24，焦距为 2c8.栏目导引探究案讲
17、练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程2已知椭圆 E 的短轴长为 6，焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9，则椭圆 E 的离心率等于_解析：根据题意得 2b6，ac9 或 ac9(舍去)又因为 a2b2c2，所以 a5，c4，故 eca45.答案：45栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程3椭圆的短轴长等于 2，长轴端点与短轴端点间的距离等于 5，则此椭圆的标准方程是_解析：设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，焦距为 2c，则 b1，a2b2(5)2，即 a24.所以椭圆的标准方程是x24 y21 或y24x21.答案：x24 y21 或y24x21栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第二章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
