1、导数的四则运算法则简单复合函数的导数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1函数y的导数是()ABC D【解析】选A.令u1v2，vln x，则yu，所以yxyuuvvxu2v2ln x.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2exf(1)3ln x，则f(1)()A3B2eCD【解析】选D.因为f(1)为常数，所以f(x)2exf(1)，所以f(1)2ef(1)3，所以f(1).3函数yx ln (2x5)的导数为()Aln (2x5)Bln (2x5)C2x ln (2x5) D【解析】选B.yx ln
2、(2x5)xln (2x5)xln (2x5)ln (2x5)x(2x5)ln (2x5).4已知函数f(x)x2cos x，f(x)是函数f(x)的导函数，则f(x)的图象大致是()【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数，所以其导函数f(x)xsin x是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B，D两项，又因为在原点右侧靠近原点的区间上，sin xx，所以f(x)0，所以原点右侧靠近原点的图象应该落在第四象限，故选A.【补偿训练】若函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，则函数f(x)的图象是()【解析】选A.由函数f(x)x2bxc的图象的顶点在第四象限，得b0.又f(x)2xb在R
3、上是增函数且在y轴上的截距小于0，所以选A. 5若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)【解析】选C.因为f(x)2x2，又x0，所以f(x)0，即x20，解得x2.【补偿训练】 函数ysin 2xcos 2x的导数是()A2cos Bcos 2xsin 2xCsin 2xcos 2x D2cos 【解析】选A.因为y(sin 2xcos 2x)(sin 2x)(cos 2x)cos 2x(2x)sin 2x(2x)2cos 2x2sin 2x22cos . 6(多选题)下列各函数的导数正确的是()A()xB(ax)axln
4、 xC(sin 2x)cos 2xD【解析】 选AD.()(x)x，A正确；(ax)axln a，B错误；(sin 2x)cos 2x(2x)2cos 2x，C错误；，D正确二、填空题(每小题5分，共10分)7(2018全国卷)曲线yex在点处的切线的斜率为2，则a_【解析】由y(ax1)ex，所以yaex(ax1)ex(ax1a)ex，故曲线y(ax1)ex在(0，1)处的切线的斜率为ka12，解得a3.答案：38已知f(x)x33xf(0)，则f_，f(1)_【解析】由于f(0)是一常数，所以f(x)x23f(0)，令x0，则f(0)0，所以f(1)123f(0)1.答案：01三、解答题(
5、每小题10分，共20分)9求下列函数的导数(1)f(x)ln x；(2)f(x)ax sin x(aR)；(3)f(x)(ex1)(2x1)k.【解析】(1)f(x).(2)f(x)a sin xax cos x.(3)f(x)(ex1)(2x1)k(ex1)ex(2x1)k(ex1)2k(2x1)k1(2x1)k1.10已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.求f(x)的解析式【解析】由f(x)为一次函数可知f(x)为二次函数设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程x2f(x)(2x1)f(x)1得：x2(2axb)(2x1)(ax2
6、bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使方程对任意x恒成立，则需要ab，b2c，c10，解得a2，b2，c1，所以f(x)2x22x1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A B C D【解析】选D.y，设tex(0，)，则y，因为t2(t1时取等号)，所以y1，0)，.2已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)()Ae B1 Ce1 De【解析】选C.因为f(x)2f(e)，所以f(e)2f(e)，所以f(e)e1.3放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而
7、变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln 2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln 2太贝克C150ln 2太贝克 D150太贝克【解析】选D.M(t)ln 2M02，由M(30)ln 2M0210ln 2，解得M0600，所以M(t)6002，所以t60时，铯137的含量为M(60)6002600150(太贝克).4已知函数f(x)x24ln x，若存在满足1x03的实数x0，使得曲线
8、yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线xmy100垂直，则实数m的取值范围是()A5，) B4，5C D(，4)【解析】选B.f(x)x4，当且仅当x2时取等号，当1x03时，f(x0)4，5，又kf(x0)m，所以m4，5.二、填空题(每小题5分，共20分)5设f(x)x(x1)(x2)(xn)，则f(0)_【解析】令g(x)(x1)(x2)(xn)，则f(x)xg(x)，求导得f(x)xg(x)xg(x)g(x)xg(x)，所以f(0)g(0)0g(0)g(0)123n.答案：123n6已知f(x)x22fx，则f_.【解析】因为f(x)x22fx，所以f(x)2x2f，所以f22
9、f，所以f2，即f.答案：7曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为_【解析】yexxex2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为ke0023，所以所求切线方程为y13x，即y3x1.答案：y3x18若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a_【解析】因为f(x)sin xx cos x，所以fsin cos 1.又直线ax2y10的斜率为，所以根据题意得11，解得a2.答案：2三、解答题(每小题10分，共30分)9若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，求实数a的值【解析】因为yx3，所以y3x2，设过(1，0)的直线与曲线yx3相
10、切于点(x0，x)，则在(x0，x)处的切线方程为yx3x(xx0).将(1，0)代入得x00或x0.当x00时，切线方程为y0，则ax2x90，4a(9)0得a.当x0时，切线方程为yx，由得ax23x0，(3)24a0，得a1.综上，a或a1.10已知曲线C：y22x4.(1)求曲线C在点A(3，)处的切线方程(2)过原点O作直线l与曲线C交于A，B两个不同的点，求线段AB的中点M的轨迹方程【解析】(1)y0时，y，所以y，所以x3时，y，所以曲线C在点A(3，)处的切线方程为y(x3)，即xy10.(2)设l：ykx，M(x，y)，则将ykx代入y22x4，可得k2x22x40，所以41
11、6k20，所以4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2，所以x，y，所以线段AB的中点M的轨迹方程为y2x(x4).11(1)已知函数yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，求函数g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程(2)已知函数f(x)x ln xmx2.若f1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程【解析】(1)因为函数yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，所以f3，f2，因为g(x)x2f(x)，所以g2xf(x)，所以g4f6，g437，所以切线方程为y76，即6xy50.(2)因为fm1，所以m1，所以f(x)x ln xx2，所以f(x)ln x2x1.所以f(1)1，切点为(1，1).f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y13(x1)，即y3x2.