1、2014-2015学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1已知数列，3，那么9是数列的（）A第12项B第13项C第14项D第15项2在ABC中，A=，B=，a=10，则b=（）A5B10C10D53若a、b、cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）AacbcB0C（ab）c20D4设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）A9B10C11D125在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值为（）ABC或D或6（5分
2、）（2014春道里区校级期末）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BCD17在等比数列an中，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A3B3C1D18如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC=45，则塔高AB的高度为（）A10B10C10D109x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（4，2）C（4，0D（2，4）10已知正项等比数列an满
3、足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则的最小值为（）ABCD不存在二、填空题：每小题5分，共25分11已知关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是12数列an是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=13已知关于x的不等式axb0的解集是（3，+），则关于x的不等式0的解集是14数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2014=15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：ABC，则sinAsinBsinC；若=，ABC为等边三角形；必存在A，B，C，使tanAtanBtanCt
4、anA+tanB+tanC成立；若a=40，b=20，B=25，ABC必有两解其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）三、解答题：共75分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知等差数列an的公差为d0，首项a1=3，且a1+2， a2+5，a3+13分别为等比数列bn中的b3，b4，b5，求数列bn的公比q和数列an的前n项和Sn17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a+b=5，c=，且4sin2cos2C=（1）求角C的大小；（2）若ab，求a，b的值18某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元根据需要，A蔬菜至少要买6
5、公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求的值；（）若，b=2，求ABC的面积S20设数列an的各项都是正数，且对任意nN*，都有（an1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列an的前n项和（1）求证数列an是等差数列；（2
6、）若数列的前n项和为Tn，求Tn21已知数列an的前n项和Sn=2n，数列bn满足b1=1，bn+1=bn+（2n1）（n=1，2，3，）（1）求数列an的通项an；（2）求数列bn的通项bn；（3）若，求数列cn的前n项和Tn2014-2015学年山东省临沂市临沭县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分在四个选项中只有一项是正确的1已知数列，3，那么9是数列的（）A第12项B第13项C第14项D第15项考点： 数列的概念及简单表示法专题： 计算题分析： 令通项公式=9，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项解答： 解：由 =9解之得n=14由此可知9
7、是此数列的第14项故选C点评： 本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题2在ABC中，A=，B=，a=10，则b=（）A5B10C10D5考点： 正弦定理专题： 三角函数的求值分析： 利用正弦定理列出关系式，将sinA，sinB以及a的值代入计算即可求出b的值解答： 解：在ABC中，A=，B=，a=10，由正弦定理=得：b=5故选：A点评： 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键3若a、b、cR，且ab，则下列不等式一定成立的是（）AacbcB0C（ab）c20D考点： 不等式的基本性质专题： 不等式的解法及应用分析： 利用不等
8、式的基本性质判断每个答案中不等式是否成立，即可得到答案解答： 解：A当c=0时，acbc不成立；B当c=0时，=0，故0不成立；Cab，ab0，又c20，（ab）c20，成立D当a，b异号时，ab，故D不成立综上可知：只有C成立故选：C点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题4设Sn是等差数列an的前n项和，公差d0，若S11=132，a3+ak=24，则正整数k的值为（）A9B10C11D12考点： 等差数列的性质专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知条件推导出a1+5d=12，2a1+2d+（k1）d=24，从而得到2a1+（2+k1）d=2a1+10d，由此能求出k解答： 解：等
9、差数列an中，公差d0，S11=132，（2a1+10d）=132，a1+5d=12，a3+ak=24，2a1+2d+（k1）d=24，2a1+（2+k1）d=2a1+10d，2+k1=10，解得k=9故选：A点评： 本题考查正整数k的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanB=ac，则角B的值为（）ABC或D或考点： 余弦定理的应用专题： 计算题分析： 通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B解答： 解：由，即，又在中所以B为或故选D点评： 本题主要考查余弦定理及三角中的
10、切化弦很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点6（5分）（2014春道里区校级期末）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BCD1考点： 正弦定理专题： 解三角形分析： 利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系解答： 解：bcosC+ccosB=2b，sinBcosC+cosBsinC=sin
11、（B+C）=sinA=2sinB，=2，由正弦定理知=，=2，故选：A点评： 本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用考查了学生分析和运算能力7在等比数列an中，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A3B3C1D1考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由已知条件，求出a4a3=2a3，由此能求出公比解答： 解：等比数列an中，a3=2S2+1，a4=2S3+1，a4a3=2S3+1（2S2+1）=2（S3S2）=2a3，a4=3a3，q=3故选：B点评： 本题考查等比数列折公比的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公
12、式8如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC=45，则塔高AB的高度为（）A10B10C10D10考点： 解三角形的实际应用专题： 计算题；解三角形分析： 先在ABC中求出BC，再BCD中利用正弦定理，即可求得结论解答： 解：设塔高AB为x米，根据题意可知在ABC中，ABC=90，ACB=60，AB=x，从而有BC=x，AC=x在BCD中，CD=10，BCD=60+30+15=105，BDC=45，CBD=30由正弦定理可得，=BC=10x=10x=故塔高AB=点评： 本题考查了正弦定
13、理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题9x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A（1，2）B（4，2）C（4，0D（2，4）考点： 简单线性规划专题： 常规题型；压轴题分析： 先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可解答： 解：可行域为ABC，如图，当a=0时，显然成立当a0时，直线ax+2yz=0的斜率k=kAC=1，a2当a0时，k=kAB=2a4
14、综合得4a2，故选B点评： 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定10已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则的最小值为（）ABCD不存在考点： 等比数列的通项公式；基本不等式专题： 计算题；压轴题分析： 把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值解答： 解：a7=a6+2a5，a5q2=a5q+2a5，q2q2=0，q=2，存在两项am，an使得=4a1，aman=16a12，qm
15、+n2=16，m+n=6=（m+n）（）=故选A点评： 本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和二、填空题：每小题5分，共25分11已知关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是（0，8）考点： 一元二次不等式的应用专题： 计算题；压轴题分析： 将关于x的不等式x2ax+2a0在R上恒成立，转化成0，从而得到关于a的不等式，求得a的范围解答： 解：因为不等式x2ax+2a0在R上恒成立=（a）28a0，解得0a8故答案为：（0，8）点评： 本题主要考查了一元二
16、次不等式的应用，以及恒成立问题的转化，同时考查了计算能力，属于基础题12数列an是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q=1考点： 等比数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： 设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案解答： 解：设等差数列an的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d化简得：（d+1）2=0，即d=1q=故答案为：1点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题13已知关于x的不等式axb0的解集是（3
17、，+），则关于x的不等式0的解集是（3，2）考点： 其他不等式的解法；一次函数的性质与图象专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意可得a0，且 =3可得关于x的不等式0，即 0，即（x+3）（x2）0，由此求得它的解集解答： 解：关于x的不等式axb0，即 axb的解集是（3，+），a0，且 =3关于x的不等式0，即 0，即 0，即 （x+3）（x2）0，求得3x2，故答案为：（3，2）点评： 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题14数列an的通项公式an=ncos+1，前n项和为Sn，则S2014=1006考点： 数列的求和专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析
18、： 通过求cos的值得到数列an的项的规律，发现数列an的每四项和为6，求出前2012项的和，减去2014得答案解答： 解：因为cos=0，1，0，1，0，1，0，1；ncos=0，2，0，4，0，6，0，8；ncos的每四项和为2；数列an的每四项和为：2+4=6而20144=503+2S2014=50362014+2=1006故答案为：1006点评： 本题考查了数列的求和，解答此题的关键在于对数列规律性的发现，是中档题15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：ABC，则sinAsinBsinC；若=，ABC为等边三角形；必存在A，B，C，使tanAtanBtanC
19、tanA+tanB+tanC成立；若a=40，b=20，B=25，ABC必有两解其中，结论正确的编号为（写出所有正确结论的编号）考点： 命题的真假判断与应用专题： 解三角形分析： 由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断根据边角关系，判断三角形解的个数解答： 解：在三角形中，ABC，得abc，由正弦定理可知sinAsinBsinC，所以正确由正弦定理条件知，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosCcosBsinC=sin（BC）=
20、0，解得B=C 所以ABC为等腰三角形，所以错误若A、B、C有一个为直角时不成立，若A、B、C都不为直角因为A+B=C，所以tan（A+B）=tan（C） 即=tanC，则tanA+tanB=tanC+tanAtanBtanC 所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC即错误因为，即asinBba，所以，ABC必有两解所以正确故答案为：点评： 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理三、解答题：共75分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知等差数列an的公差为d0，首项a1=3，且a1+2，a2+5，a3+13分别为等比数列bn中的
21、b3，b4，b5，求数列bn的公比q和数列an的前n项和Sn考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： 直接由a1+2，a2+5，a3+13成等比数列求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n项和公式得答案解答： 解：a1+2，a2+5，a3+13分别为等比数列bn中的b3，b4，b5，即（8+d）2=5（16+2d），得d=2数列an的前n项和Sn=点评： 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础题17在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a+b=5，c=，且4sin2cos2C=（1）求角C的大小；（2）
22、若ab，求a，b的值考点： 余弦定理专题： 解三角形分析： （1）已知等式利用内角和定理及诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把c，cosC，代入并利用完全平方公式变形，把a+b=5代入求出ab=6，联立即可求出a与b的值解答： 解：（1）A+B+C=180，=90，已知等式变形得：4cos2cos2C=，即2+2cosC2cos2C+1=，整理得：4cos2C4cosC+1=0，解得：cosC=，C为三角形内角，C=60；（2）由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，即7=a2+b2ab=（a+b）23
23、ab，把a+b=5代入得：7=253ab，即ab=6，联立，解得：a=3，b=2点评： 此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键18某小型餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A，B蔬菜每公斤的单价分别为2元和3 元根据需要，A蔬菜至少要买6公斤，B蔬菜至少要买4公斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元（1）写出一天中A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示），（2）如果这两种蔬菜加工后全部卖出，A，B两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元，餐馆如何
24、采购这两种蔬菜使得利润最大，利润最大为多少元？考点： 简单线性规划的应用专题： 计算题；数形结合分析： （1）利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域（2）利用线性规划的内容进行图象平移，然后确定目标函数是最值解答： 解：（1）依题意，A蔬菜购买的公斤数x和B蔬菜购买的公斤数y之间的满足的不等式组如下：（3分）画出的平面区域如图（6分）（2）设餐馆加工这两种蔬菜利润为z元，则目标函数为z=2x+y（7分）y=2x+zz表示过可行域内点斜率为2的一组平行线在y轴上的截距联立解得即B（24，4）（9分）当直线过点B（24，4）时，在y轴上的截距最大，即zmax=224+4=52（11分）答：餐
25、馆应购买A蔬菜24公斤，B蔬菜4公斤，加工后利润最大为52元（12分）点评： 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（）求的值；（）若，b=2，求ABC的面积S考点： 解三角形；三角函数中的恒等变换应用专题： 解三角形分析： （）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得（）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（）中的结论和正弦定理求得a和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案解答：
26、解：（）由正弦定理设则=整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=sinC=2sinA，即=2（）由余弦定理可知cosB=由（）可知=2再由b=2，联立求得c=2，a=1sinB=S=acsinB=点评： 本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力20设数列an的各项都是正数，且对任意nN*，都有（an1）（an+3）=4Sn，其中Sn为数列an的前n项和（1）求证数列an是等差数列；（2）若数列的前n项和为Tn，求Tn考点： 数列递推式；数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （1）由已知利用“当n2时，an=SnSn1”
27、即可求得an与an1的关系，进而证明数列an是等差数列（2）利用（1）可得=，nN*，再利用“裂项求和”即可得出解答： 解：（1）对任意nN*，都有（an1）（an+3）=4Sn，即当n2时，4an=4（SnSn1）=2an1，化为（an+an1）（anan12）=0，对任意nN*，an0an+an10anan1=2数列an是等差数列，公差为2（2）由（1），a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1=4n（n+1），=，nN*；Tn=点评： 本题考查了利用“当n2时，an=SnSn1”即可求得an与an1的关系、等差数列的定义和通项公式、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，属于中档题
28、21已知数列an的前n项和Sn=2n，数列bn满足b1=1，bn+1=bn+（2n1）（n=1，2，3，）（1）求数列an的通项an；（2）求数列bn的通项bn；（3）若，求数列cn的前n项和Tn考点： 数列递推式；数列的概念及简单表示法；数列的求和专题： 计算题分析： （1）当n2时，根据Sn=2n，得到Sn1=2n1，两者相减即可得到an的通项公式，当n=1时，求出S1=a1=2，分两种情况：n=1和n2写出数列an的通项an；（2）分别令n=1，2，3，n，列举出数列的各项，得到b2b1=1，b3b2=3，b4b3=5，bnbn1=2n3，以上各式相加后，利用等差数列的前n项和公式化简后
29、，将b1=1代入即可求出数列bn的通项bn；（3）分两种情况：n=1和n2，把（1）和（2）中分别求出的两通项公式代入，得到数列cn的通项公式，列举出数列cn的前n项和Tn，两边同乘以2后，两等式相减后，利用等比数列的前n项和公式化简后，即可得到数列cn的前n项和Tn的通项公式解答： 解：（1）Sn=2n，Sn1=2n1，（n2）an=SnSn1=2n2n1=2n1（n2）当n=1时，211=1S1=a1=2，（2）bn+1=bn+（2n1），b2b1=1，b3b2=3，b4b3=5，bnbn1=2n3，以上各式相加得b1=1，bn=n22n（3）由题意得Tn=2+021+122+223+（n2）2n1，2Tn=4+022+123+224+（n2）2n，Tn=2+22+23+2n1（n2）2n=2n2（n2）2n=2（n3）2n，Tn=2+（n3）2n点评： 此题考查学生灵活运用数列的递推式确定数列为等比数列，在求通项公式时应注意检验首项是否满足通项，会利用错位相减的方法求数列的和，灵活运用等差数列及等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题