1、基本初等函数的导数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1在曲线f (x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A(1，1) B(1，1)C(1，1) D(1，1)或(1，1)【解析】选D.切线的斜率ktan 1，设切点为(x0，y0)，则f (x0)1，又f (x)，所以1，所以x01或1，所以切点坐标为(1，1)或(1，1).2下列命题中正确的是()若f(x)cos x，则f(x)sin x；若f(x)0，则f(x)1；若f(x)sin x，则f(x)cos x；若f(x)，则f(x).A B C D【解析】选C.当f(x)
2、sin x1时，f(x)cos x；当f(x)2时，f(x)0；若f(x)，则f(x).3若f(x)sin x，f()，则下列的值中满足条件的是()A B C D【解析】选A.因为f(x)sin x，所以f(x)cos x.又因为f()cos ，所以2k(kZ).当k0时，.4函数yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为()Ae2B2e2Ce2D【解析】选D.因为当x2时，ye2，所以切线方程为ye2e2(x2).当x0时，ye2，当y0时，x1.故切线与坐标轴围成三角形的面积为|e2|1.5对任意的x，有f(x)4x3，f(1)1，则此函数解析式可以为()Af(x)x3 Bf
3、(x)x42Cf(x)x31 Df(x)x41【解析】选B.由f(x)4x3知f(x)中含有x4项，所以A，C不正确，然后将x1代入B，D中验证可得B正确6(多选题)若f(x)x2，g(x)x3，则能满足g(x)f(x)0的区间有()A(，0) BC D【解析】选AB.因为g(x)3x2，f(x)2x，由g(x)f(x)0，得3x22x0，得x或x0.二、填空题(每小题5分，共10分)7直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0ln x0.因为y(ln x)，由题意知，所以x02，y0ln 2.由ln 22b，得bln 21.答案：ln
4、218若质点P的运动方程是st2，则质点P在t8时的瞬时速度为_【解析】由st2得s2t，所以v2t.所以t8时，v16.答案：16三、解答题(每小题10分，共20分)9已知f(x)ln x，g(x)x2，求适合f(x)1g(x)的x值【解析】因为f(x)，g(x)2x，又f(x)1g(x)，所以12x0，2x2x10，得x1或x(舍)，所以x的值为1.10已知曲线y5，求：(1)这条曲线与直线y2x4平行的切线方程(2)过点P(0，5)且与曲线相切的切线方程【解析】(1)设切点为(x0，y0)，由y5，得y，所以切线斜率为，因为切线与直线y2x4平行，所以2.所以x0，所以y0.则所求切线方
5、程为y2，即16x8y250.(2)因为点P(0，5)不在曲线y5上，设切点坐标为M(t，u)，则切线斜率为，又切线斜率为，所以.所以2t2t，又t0，解得t4. 所以切点为M(4，10)，斜率为.所以切线方程为y10(x4)，即5x4y200.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1满足f(x)f(x)的函数f(x)可以是()Af(x)log1920 Bf(x)Cf(x)x20 Df(x)ex【解析】选D.利用求导公式可得只有D满足f(x)f(x).2正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A B0，)C D【解析】选A.因为yco
6、s x，而cos x1，1.所以直线l的斜率的范围是1，1，所以直线l倾斜角的范围是.3若曲线yx在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a()A64 B32 C16 D8【解析】选A.因为yx，所以曲线yx在点(a，a)处的切线方程为：yaa (xa)，由x0得ya，由y0得x3a，所以a3a18，解得a64.4已知直线y3x1与曲线yax33相切，则a的值为()A1 B1 C1 D2【解析】选A.设切点为(x0，y0)，则y03x01，且y0ax3，所以3x01ax3.对yax33求导得y3ax2，则3ax3，ax1，由可得x01，所以a1.二、填空题(每小题5分，共20分)5
7、已知f(x)x2，g(x)ln x，若f (x)g(x)1，则x_.【解析】因为f (x)x2，g(x)ln x，所以f (x)2x，g(x)且x0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去).故x1.答案：16在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_【解析】因为yln x，所以y(x0)，设A(x0，ln x0)，则在点A处的切线方程为yln x0(xx0)，化简为yxln x01，因为切线过点(e，1)，所以1(e)ln x01，所以ln x00，所以x0e时方程成立，又因为yln x
8、递增(x0)，所以方程有唯一解x0e，A(e，1).答案：(e，1)7(2021广陵高二检测)若f(x)x3，其导数满足f(x0)3，则x0的值为_. 【解析】根据题意，若f(x)x3，其导数f(x)3x2，若f(x0)3，则3x3，解得x01.答案：18已知函数yf(x)的图象在M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_【解析】依题意知，f(1)12，f(1)，所以f(1)f(1)3.答案：3三、解答题(每小题10分，共30分)9过点P(1，0)作直线l与曲线C1：y和曲线C2：yx2xc都相切，求c的值【解析】设直线l与曲线C1：y相切于点M(x0，y0)，则，又y0，解得
9、x01，y01，所以切点为(1，1)，切线l的方程为y(x1)，因为直线l与曲线C2：yx2xc相切，所以由方程组消元整理得x2xc0，所以判别式40，所以c.10过已知直线xy40上的任意一点P作曲线yx2的切线，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点【证明】因为点P是已知直线xy40上的任意一点，所以设P(m，m4)，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为yx2，所以y2x，所以切线AP的方程为yy12x1(xx1)，即yy12x1x，同理可得切线BP的方程为yy22x2x，因为AP，BP都经过点P，所以m4y12x1m，m4y22x2m，这两个式子说明(x1，y1)，(x2，y2)
10、都是方程m4y2xm的解，也就是直线m4y2xm经过两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以直线AB的方程为m4y2xm，即m(12x)(4y)0经过定点.所以直线AB过定点.11设抛物线yx2与直线yxa(a是常数)有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求a值变化时l1与l2交点的轨迹【解析】将yxa代入yx2整理得x2xa0，因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以(1)24a0，得a.设两交点为(，2)，(，2)，由yx2知y2x，则切线l1，l2的方程分别为y2x2，y2x 2.设两切线交点为(x，y)，则因为，是的解，由根与系数的关系，可知1，a.代入可得x，ya.从而，所求的轨迹为直线x上的y的部分