1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积A级基础巩固1正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A48B64C16 D96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a296，a4. 其体积Va34364.故选B.2设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A6 B.C2 D2解析：选B由底面边长为1和侧棱长为，可知高h2.又因为底面积S，所以体积VSh2.3一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为23，则棱柱与棱锥的体积之比为()A.B2C.D3解析：选B设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为2.4.我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数
2、学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1，其中ACBC，若AA1AB1，当“阳马”即四棱锥BA1ACC1体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABCA1B1C1的表面积为()A.1 B.1C. D.解析：选CV四棱锥BA1ACC1ACAA1BCACBCAA1V三棱柱ABCA1B1C1，V三棱柱ABCA1B1C1ACBCAA1ACBC(AC2BC2)AB2，当且仅当ACBC时取等号，即当ACBC时，V三棱柱ABCA1B1C1取得最大值，此时四棱锥BA1ACC1的体积最大则此时三
3、棱柱ABCA1B1C1的表面积为21.故选C.5鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装图是一个鲁班锁玩具，图是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为()A8(66) B6(88)C8(66) D6(88)解析：选A由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个棱长为2(1)的正方体截去了8个正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为64(1)24 828(66)故选A.6如图，三棱柱ABCABC的体积为1，则四棱锥CAABB的体积是_解析：VCABCVABCABC，VCAA
4、BB1.答案：7已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是_，表面积是_解析：该几何体的体积V46343390，表面积S2(464363)33432334138.答案：901388有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm，则它的深度为_cm.解析：设油槽的上、下底面积分别为S，S.由V(SS)h，得h75(cm)答案：759.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分，其
5、体积分别为V1，V2，且V2V1.(1)求V1，V2以及V1V2；(2)求点A到平面A1BD的距离d.解：(1)截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1ABD，其中底面ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积SABADa2.底面ABD上的高为hAA1a.所以其体积V1Sha2aa3.正方体的体积Va3，所以V2VV1a3a3a3.所以V1V215.(2)三棱锥A1ABD与三棱锥AA1BD是同一个几何体在A1BD中，A1BBDA1Da，如图，取BD的中点H，连接A1H，则A1HBD，BHHDBDa，所以A1Ha.其面积S2BDA1Haaa2.因为VA1ABDVAA1BD，即a3S
6、2d，所以a3a2d，解得da，即点A到平面A1BD的距离为a.10已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积解：如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O12.连接OE，O1E1，则OEAB126，O1E1A1B13.过E1作E1HOE，垂足为H，则E1HO1O12，OHO1E13，HEOEO1E1633.在RtE1HE中，E1E2E1H2HE2122323242323217，所以E1E3.所以S侧4(B1C1BC)E1E2(612)3108
7、.B级综合运用11现有一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面EE1F1F与各棱的交点分别为其所在棱的中点，则图甲中水面的高度为()A. B2C. D.解析：选D设正三棱柱的底面积为S，则VABCA1B1C13S.E，F，F1，E1分别为其所在棱的中点，即SAFES，S四边形BCFES，VBCFEB1C1F1E1S3S，图甲中水面的高度为.故选D.12(多选)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的
8、是()A直三棱柱侧面积是42B直三棱柱体积是C三棱锥EAA1O的体积为定值DAEEC1的最小值为2解析：选ACD在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为122242，故A正确；直三棱柱的体积为VSABC AA11121，故B不正确；如图，由BB1平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥EAA1O的高为定值，SAA1O2，所以VEAA1O，故C正确；将四边形BCC1B1沿BB1翻折，使四边形ABB1A1与四边形BCC1B1位于同一平面内，连接AC1与BB1相交于点E，此时AEEC1
9、最小，即AEEC1AC12，故D正确13在底面是菱形的直四棱柱中，直四棱柱的对角线长分别为9，15，高是5，则该直四棱柱的表面积为_解析：如图所示，设底面对角线ACa，BDb，交点为O，对角线A1C15，BD19.故有a252152，b25292，所以a2200，b256.因为底面是菱形，所以AB264，即AB8.所以该直四棱柱的侧面积为485160，表面积为160216040.答案：1604014如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥EABCD423
10、16.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF，V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.C级拓展探究15一个正三棱锥PABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面ABC上，何时此三棱柱的侧面积取到最大值？解：设三棱锥的底面中心为O，连接PO(图略)，则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的底面与PO交于O1点，则，令A1B1x，而POh，则PO1x，于是OO1hPO1hxh.所以所求三棱柱的侧面积为S3xh(ax)x.当x时，S有最大值为ah，此时O1为PO的中点，即A1，B1，C1分别是三条棱的中点