1、第十五章几何证明选讲考纲展示命题探究1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定及性质(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(2)一般三角形相似的判定定理预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，
2、所构成的三角形与原三角形相似判定定理1两角对应相等，两三角形相似判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边判定定理3三边对应成比例，两三角形相似(3)直角三角形相似的判定定理定理如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(4)相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形
3、周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项如图所示，在RtABC中，AC BC，CDAB，则CD2ADBD，AC2ADAB，BC2BDAB.注意点相似三角形性质的作用(1)可用来证明线段成比例、角相等(2)可间接证明线段相等(3)为计算线段的长度及角的大小创造条件(4)可计算周长、特征线段长等. 1思维辨析(1)如果两个三角形的三个内角分别相等，则它们相似()(2)在ABC和ABC中
4、，若有，则ABCABC.()(3)直角三角形ABC中，C90，CDAB，则有ABCACD，ABCCBD.()答案(1)(2)(3)2如图，在ABC中，AEDB，DE6，AB10，AE8，则BC的长为()A. B7C. D答案C解析由已知条件AEDB，A为公共角，所以ADEACB，则有，从而BC.3在RtABC中，C90，CDAB于D，若BDAD13，则BCD_.答案解析由射影定理得，CD2ADBD，又BDAD13，令BDx，AD3x，CD2ADBD3x2，CDx，在RtCDB中，tanBCD，BCD.考法综述考查三角形相似，利用平行线等分线段定理，三角形相似的性质，直角三角形射影定理证明两个三
5、角形相似，通常与圆交错考查命题法1平行线分线段成比例定理典例1如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE交BC于点F，则的值为_解析如图，过点D作DMAF交BC于点M.点E是BD的中点，在BDM中，BFFM.又点D是AC的中点，在CAF中，CMMF，.答案【解题法】平行线分线段成比例定理的应用以相似三角形为载体，通过三角形相似构建相应线段比，解题时要充分利用中点作辅助线，从而有效利用定理命题法2三角形相似的判定与性质典例2(1)如图， 在ABC中，ABAC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.求证：；若AC3，求APAD的值(2)如图，梯形ABCD内接于O，A
6、DBC，过点C作O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.求证：AB2DEBC；若BD9，AB6，BC9，求切线PC的长解(1)证明：因为CPDABC，PDCPDC，所以DPCDBA，所以.又ABAC，所以.因为ABCAPC180，ACBACD180，ABCACB，所以ACDAPC.又CAPDAC，所以APCACD，所以.所以APADAC29.(2)证明：ADBC，ABCD，EDCBCD.又PC与O相切，ECDDBC.CDEBCD.CD2DEBC，即AB2DEBC.由知，DE4，ADBC，PDEPBC，.又PBPD9，PD，PB.PC2PDPB.PC.【解题法】相似三角形的判定定理
7、的选择(1)已知有一角相等时，可选择判定定理一与判定定理二(2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理二与判定定理三(3)判定两个直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般三角形相似的方法来判定1. 如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2FDFA；AECEBEDE；AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A BC D答案D解析由弦切角定理知FBDBAD，AD平分BAC，CBDCAD，BADDBC.FBDCBD，即BD平
8、分CBF，正确；由切割线定理知，正确；由相交弦定理知，AEEDBEEC，不正确；ABFBDF，AFBDABBF，正确故选D.2如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE交于点F，则_.答案9解析EB2AE，AB3AE，又DFCEFA，9.3如图，在ABC中，ABAC，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.4如图，O为等腰三角形ABC内一点，O与ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点(1)证明：EFBC；(
9、2)若AG等于O的半径，且AEMN2，求四边形EBCF的面积解(1)证明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故ADEF.从而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦，所以O在AD上连接OE，OM，则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2，所以AO4，OE2.因为OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四边形EBCF的面积为2(2)2.5. 如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD
10、于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.类似可证：RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.1圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；
11、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径3圆内接四边形的性质与判定定理性质定理1圆的内接四边形的对角互补性质定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的对角判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆判定定理的推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆4圆的切线的性质及判定定理性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线5弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的
12、圆周角6与圆有关的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角注意点圆中的有关定理可以解决的问题类型相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的
13、切线有关的问题. 1思维辨析(1)相同长度的弧所对的圆心角相等()(2)任何四边形都有外接圆()(3)同一段弧所对的圆周角是圆心角的.()(4)圆的切线长是割线与圆交点的两条线段长的比例中项()答案(1)(2)(3)(4)2如图，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_答案解析设圆的半径为r，则(3r)(3r)13，即r26，解得r.3如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD3，AD4，AB2，则BC_.答案解析由切割线定理，得BD2CDAD，得CD.又ADBC，DD，ABDBCD，解得BC.考法综述利用圆的切线的性质、切割线定理、相交
14、弦定理确定圆中有关线段之间的关系，解题中一般应用弦切角定理，圆周角定理等确定角之间的关系，结合三角形相似的判定与性质或三角形的其他定理确定边角之间的关系，证明有关线段的等式或者求线段的长命题法圆中的有关定理及其应用典例如图所示，O1与O2相交于A，B两点，过点A作O1的切线交O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交O1，O2于点D，E，DE与AC相交于点P.(1)求证：ADEC；(2)若AD是O2的切线，且PA6，PC2，BD9，求AD的长解(1)证明：如图所示，连接AB，CE.AC是O1的切线，BACADB.又BACCEP，ADBCEP，ADEC.(2)解法一：PA是O1的切线，PD是O1的割
15、线，PA2PBPD，即62PB(PB9)PB3或PB12(舍去)在O2中由相交弦定理，得PAPCBPPE，PE4.DEBDPBPE93416.AD是O2的切线，DE是O2的割线，AD2DBDE916144.AD12.解法二：设BPx，PEy.PA6，PC2，由相交弦定理得PAPCBPPE，即xy12ADEC，联立，解得或(舍去)，DE9xy16.AD是O2的切线，DE是O2的割线，AD2DBDE916144，AD12.【解题法】应用圆中的有关定理的解题思路圆中的有关定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面，在与定理相关的图形不完整
16、时，要借助辅助线补齐相应部分处理与圆有关的比例线段的常见思路：(1)利用相似三角形(2)利用圆的有关定理(3)利用平行线分线段成比例定理及推论(4)利用面积关系1如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N.若CM2，MD4，CN3，则线段NE的长为()A. B3C. D答案A解析由题意可得CMMDAMMB，则242AM2，AM2.因为M、N是弦AB的三等分点，所以AMNB，BNMB，又CNNEANNB，即3NE42，解得NE.2如图所示，已知AB是圆O的直径，AB4，EC是圆O的切线，切点为C，BC1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD_.
17、答案8解析由题意得OPBC，OA2，于是PACP .因为DCPBPOA，又DPCAPO，所以DCPAOP，故，即PD，所以OD8.3如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，则BE_.答案2解析由切割线定理得PA2PCPD，得PD12，CDPDPC1239，即CEED9，CEED21，CE6，ED3.由相交弦定理得AEEBCEED，即9EB63，得EB2.4如图，ABC中，BC6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC2AE，则EF_.答案3解析四边形BCFE是圆内接四边形，CBEF180，CAEF，AE
18、FACB，EF3.5如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；(2)若OACE，求ACB的大小解(1)证明：连接AE，由已知得，AEBC，ACAB.在RtAEC中，由已知得，DEDC，故DECDCE.连接OE，则OBEOEB.又ACBABC90，所以DECOEB90，故OED90，DE是O的切线(2)设CE1，AEx，由已知得AB2，BE.由射影定理可得，AE2CEBE，所以x2，即x4x2120.可得x，所以ACB60.6. 如图所示，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(1)ME
19、NNOM180；(2)FEFNFMFO.证明(1)如图所示因为M，N分别是弦AB，CD的中点，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四边形的内角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，故由割线定理即得FEFNFMFO.7如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.(1)证明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直径解(1)证明：因为DE为O的直径，则BEDEDB90，又BCDE，所以CBDEDB90，从而CBDBED.又AB切O于点B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知
20、BD平分CBA，则3，又BC，从而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割线定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直径为3.8如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CBCE.(1)证明：DE；(2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角形证明(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，DCBE，又BCEC，CBEE，DE.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC，知MNBC，故O在直线MN上又AD不是O的直径，M为AD的中点，故OMAD，即MNAD.ADBC，ACBE.又CBEE，故AE，由(1)知，DE，A
21、DE为等边三角形9. 如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.证明：(1)BEEC；(2)ADDE2PB2.证明(1)连接AB，AC，由题设知PAPD，故PADPDA.因为PDADACDCA，PADBADPAB，DCAPAB，所以DACBAD，从而.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC，所以DC2PB，BDPB，由相交弦定理得ADDEBDDC，所以ADDE2PB2.10. 如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PGPD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP
22、，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若ACBD，求证：ABED.证明(1)PDPG，PDGPGD，由于PD为切线，故PDADBA，又PGDEGA，DBAEGA.DBABADEGABAD，从而BDAPFA.由AFEP，得PFA90，BDA90，故AB是直径(2)连接BC，DC.AB是直径，BDAACB90，在RtBDA与RtACB中，ABBA，ACBD.RtBDARtACB，DABCBA.又DCBDAB.DCBCBA，DCAB.ABEP，DCEP，DCE为直角ED为直径，由(1)得EDAB.如图，在ABC中，D为BC的中点，E在CA上，且AE2CE，AD，BE交于F，求.错解错因分析错
23、误得出三角形相似，比例关系混乱. 正解取BE的中点G，连接DG在BCE中，D，G是BC、BE的中点，DGEC，且DGEC，又AE2CE，且DGEC，DFGAFE，4.心得体会时间：90分钟基础组1. 2016枣强中学期末如图，等边三角形DEF内接于ABC，且DEBC，已知AHBC于点H，BC4，AH，则DEF的边长为_答案解析 设DEx，AH交DE于点M，显然MH的长度与等边三角形DEF的高相等，又DEBC，则，解得x.22016衡水二中仿真如图，在ABC中，DEBC，EFAB，AD5，DB3，FC2，则BF_.答案解析由平行线的性质可得，所以BFFC.3. 2016枣强中学期中如图所示，圆的
24、内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED3，BD6，则线段AE的长为_答案3解析易知CBECAEABE，又EE，所以EADEBA，所以，所以AE2EBED27，所以AE3.42016冀州中学猜题如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知AC，PD2DA2，则PE_.答案解析因为PEBC，所以CPED，所以APED，又P是公共角，所以PEDPAE.则，即PE2PAPD.由PD2DA2，可得PE26.PE.52016武邑中学仿真如图，过圆O外一点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE、BE，APE的平分线分别与AE、
25、BE相交于点C、D，若AEB40，则PCE_.答案70解析由PE为切线可得PEBPAE，由PC为角平分线可得EPCAPC.由PAE的内角和为180，得2(APCBAE)40180，所以APCBAE70，故PCEAPCBAE70.62016衡水中学模拟如图，已知四边形PQRS是圆内接四边形，PSR90，过点Q作PR，PS的垂线，垂足分别为H，K，HK与QS交于点T，QK交PR于点M.求证：(1)；(2)QTTS.证明(1)因为QHPQKP，所以Q，H，K，P都在以QP为直径的圆上，即Q，H，K，P四点共圆，由相交弦定理得QMMKHMMP，所以.(2)因为Q，H，K，P四点共圆，所以HKSHQP.
26、因为PSR90，所以PR为圆的直径，所以PQR90，QRHHQP. 而QSPQRH，综上可得QSPHKS，所以TSTK.又SKQ90，所以SQKTKQ，所以QTTK，所以QTTS.72016冀州中学期中如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，过D点作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)ABCDCB；(2)DEDCAEBD.证明(1)因为四边形ABCD为等腰梯形，所以ABDC，ABCDCB，又BCBC，所以ABCDCB.(2)因为ADBC，DEAC，所以EDAACB.又由ABCDCB知ACBDBC，所以EDADBC.由ADBC得EADABC，又ABCDCB，所以EADDCB.所以A
27、EDCDB，所以，所以DEDCAEBD.82016衡水中学仿真由O外一点P引O的切线PA，PB，过P引割线PCD交O于点C，D，OP与AB交于点E.求证：CEOCDO180.证明如图，连接AO，则AOPA，又AEOP，则PA2PEPO.因为PA2PCPD，所以PEPOPCPD，从而C，D，O，E四点共圆，则CEOCDO180.92016枣强中学预测如图，PA，PB为圆O的切线，AB与OP相交于点K，过点K引任意弦CD，求证：OCKKPD.证明如图，连接AO.由AOPA，AKPO，可得PKKOAK2，又CKKDAKKBAK2，所以CKKDPKKO，则C，O，D，P四点共圆，从而OCKKPD.10
28、2016冀州中学一轮检测如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小解(1)证明：如图所示，连接OP，OM.因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180.由于圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.由圆心O在PAC的内部可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.112016武邑中学一轮检测如图
29、，已知在ABC中，D是BC边的中点，且ADAC，DEBC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的长解(1)证明：因为DEBC，D是BC的中点，所以EBEC，所以BECB.又因为ADAC，所以ADCACB.所以ABCFCD.(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC2CD，所以24.又因为SFCD5，所以SABC20.因为SABCBCAM，BC10，所以2010AM，所以AM4.因为DEAM，所以.因为DMDC，BMBDDM，BDBC5，所以，解得DE.122016武邑中学月考如图，O和O相交于A，B两点
30、，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交O于点E，证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.证明(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB，从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，所以EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，可得ACAE.能力组13.2016衡水中学热身如图，已知在ABCD中，O1，O2，O3为对角线BD上三点，且BO1O1O2O2O3O3D，连接AO1并延长交BC于点E，连接EO3并延长交AD于F，则ADFD等于()A192 B91C81 D71答案B解析在A
31、BCD中，BEDF，BO1O1O2O2O3O3D，同理，ADFD91.142016衡水二中热身已知圆O的直径AB4，C为圆上一点，过C作CDAB于D，若CD，则AC_.答案2或2解析因AB为圆O的直径，所以ACB90，设ADx，因为CDAB，由射影定理得CD2ADDB，即()2x(4x)整理得x24x30，解得x1或x3.当AD1时，得AC2；当AD3时，得AC2.152016武邑中学期末如图所示，已知D为ABC的边BC上一点，O1经过点B，D，交AB于另一点E，O2经过点C，D，交AC于另一点F，O1与O2的另一交点为G.(1)求证：A，E，G，F四点共圆；(2)若AG切O2于G，求证：AE
32、FACG.证明(1)连接GD，四边形BDGE，CDGF分别内接于O1，O2，AEGBDG，AFGCDG.又BDGCDG180，AEGAFG180.A，E，G，F四点共圆(2)A，E，G，F四点共圆，AEFAGF.AG切O2于G，AGFACG，AEFACG.162016衡水二中预测如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA10，PB5，BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.(1)求证：；(2)求ADAE的值解(1)证明： PA为圆O的切线，PABACP.又P为公共角，PABPCA，.(2)PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，PA2PBPC，PC20，BC15.又CAB90，AC2AB2BC2225.又由(1)得，AC6，AB3.连接EC，则CAEEAB，又AECABD，ACEADB，ADAEABAC3690.