1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150，则l1与l2所成的角为()A.30B.150C.30或150D.以上均不对【解析】l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.【答案】A2.已知A(0,1,1)，B(2，1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】(2，2，1)，(2，3，3)，cos，直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】A3.正方形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，若PAAB，则平面PAB与平面PC
2、D的夹角为()A.30 B.45 C.60D.90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设PAAB1.则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).于是(0,1,0).取PD中点为E，则E，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，cos，平面PAB与平面PCD的夹角为45.【答案】B4.如图3227，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1A1BE的余弦值为() 【导学号：37792144】图3227A.B.C.D.【解析】设AD1，则A1(1,0,2)，B(1,2,0)，因为E，
3、F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0,1,2)，F(1,1,1)，所以(1,1,0)，(0,2，2)，设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1,1,1)，又DA平面A1B1B，所以(1,0,0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，又二面角B1A1BE为锐二面角，所以二面角B1A1BE的余弦值为，故选C.【答案】C5.如图3228，空间正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是()图3228A.B.C.D.【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标
4、轴建系，则，cos，0.，.【答案】D二、填空题6.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是_. 【导学号：37792145】【解析】依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，cos，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2,0)，B(2,1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_.【解析】设平面xOz的法向量为n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，.【答案】8.已知点E，F分别
5、在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.【解析】如图，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2(x，y，z).所以A(1,0,0)，E，F，所以，则即取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3).所以cosn1，n2.所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，所以tan .【答案】三、解答题9.如图3229所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CACBCDBD2，ABAD. 【导学号：3779
6、2146】图3229(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.【解】(1)证明：连接OC，由题意知BODO，ABAD，AOBD.又BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO，又AC2，AO2CO2AC2，AOC90，即AOOC.BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0, ，0)，A(0,0,1)，E，(1,0,1)，(1，0)，cos，.异面直线AB与CD所成角的余弦值为.10.四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.(1)求证：平面AEC平面PD
7、B；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设ABa，PDh，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)，(1)证明：(a，a,0)，(0,0，h)，(a，a,0)，0，0，ACDP，ACDB，又DPDBD，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)当PDAB且E为PB的中点时，P(0,0，a)，E，设ACBDO，O，连接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，cosAEO，AEO45，即AE与平面PDB所成的角的大小
8、为45.能力提升1.已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不对【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，所以(0,1，1)，(1,1，1)，(0，1，1).设平面A1ED1的一个法向量为n(x，y，z)，则得令z1，得y1，x0，所以n(0,1,1)，cosn，1.所以n，180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.【答案
9、】B2.在三棱柱ABCA1B1C1中，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图3230A.B.C.D.【解析】不妨设CACC12CB2，则(2,2,1)，(0，2,1)，所以cos，.因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.【答案】A3.在空间中，已知平面过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面与平面xOy的夹角为45，则a_.【解析】平面xOy的法向量为n(0,0,1)，设平面的法向量为u(x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u.而cosn，u，又a0，a.【答案】4.如图3231，在直三棱柱A1B1C1A
10、BC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点.图3231(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值. 【导学号：37792147】【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1，1,0)，A1(0,0,4) ，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4). 因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面AA1B的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.