1、第3讲抛物线及其性质考纲展示命题探究1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)；顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)注意点定义的理解和方程中p的意义(1)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物
2、线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离的比值等于1.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离. 1思维辨析(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线就是一元二次函数的图象()答案(1)(2)(3)2经过点P(16，4)的抛物线的标准方程为()Ay2x或x264y By2x或y264xDy2x Dx264y答案A解析当抛物线的开口向右时，抛物线的方程为y22px(p0)，代入点P(16，4)得：p，y2x；当抛物线
3、的开口向下时，抛物线的方程为x22py(p0)，代入点P(16，4)得：p32，x264y；综上所述，y2x或x264y.3设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x答案B解析由准线方程x2得2，且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴)，所以y22px8x.考法综述四种不同的抛物线的标准方程形式是考查重点，一种是求抛物线的方程，另一种是根据抛物线的方程研究它的几何性质与抛物线定义有关的最值、轨迹问题及焦点弦问题命题法抛物线的定义及方程典例(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2y Bx2
4、y或x2yCx2y Dx212y或x236y(2)抛物线y22x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_解析(1)将yax2化为x2y，当a0时，准线y，由已知得36，所以12，所以a.当a0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.答案2解析y22px的准线方程为x，又p0，所以x必经过双曲线x2y21的左焦点(，0)，所以，p2.4已知F1、F2分别是双曲线3x2y23a2(a0)的左、右焦点，P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若|PF1|PF2|12，则抛物线的准线方程为_答案x2解析将双曲线方程化为标准方程得1，则其焦点坐标为F1(2a,0)，F
5、2(2a,0)，且(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得x3a，即点P的横坐标为3a.而由|PF2|6a，|PF2|3a2a6a，得a1，抛物线的方程为y28x，其准线方程为x2.5如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则_.答案1解析由题意，知C，F.又C，F在抛物线y22px(p0)上，所以由，得，即b22baa20，解得1(负值舍去)故1.6已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，直线y4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于
6、M，N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程解(1)设Q(x0,4)，代入y22px得x0.所以|PQ|，|QF|x0.由题设得，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0)代入y24x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21,2m)，|AB|y1y2|4(m21)又l斜率为m，所以l的方程为xy2m23.将上式代入y24x，并整理得y2y4(2m23)0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3y4，y3y44(2m23)故MN的中点为E2m
7、23，|MN| |y3y4|.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|BE|MN|，从而|AB|2|DE|2|MN|2，即4(m21)222，化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.1抛物线的几何性质2抛物线焦点弦的性质焦点弦：线段AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2；(2)y1y2p2；(3)焦半径|AF|x1；(4)弦长lx1x2p.当弦ABx轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；(5)弦长l(为AB的倾斜角)注意点解抛物线问题的注意事项(1)注意四种不同的方程下，焦点与顶点以
8、及准线的对应位置(2)注意定义的应用：将到焦点的距离与到准线的距离进行灵活转化. 1思维辨析(1)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(2)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()(3)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()(4)若AB是焦点弦，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切()答案(1)(2)(3)(4)2过抛物线y28x的焦点F作倾斜角为135的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A4 B.
9、 8C12 D16答案D解析抛物线y28x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135，故直线AB的方程为yx2，代入抛物线方程y28x，得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|x1x2412416.3设抛物线y28x上一点P到焦点的距离是4，则P点坐标为_答案(2，4)解析设y28x的焦点为F，则F(2,0)设P(x，y)|PF|x24，x2，代入抛物线得y4.P点坐标为(2，4)考法综述抛物线虽只有一个焦点和一条准线，却有许多有趣的性质，尤其焦点弦的性质一直是高频考点，与向量等知识综合命题的趋势较强，应予以高度关注高考对本考点要求较高，试题难度较
10、大命题法抛物线的几何性质及其应用典例(1)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为()A. B.C. D2(2)已知抛物线y28x的焦点为F，直线yk(x2)与此抛物线相交于P，Q两点，则()A. B1C2 D4解析(1)焦点F(1,0)，设A，B分别在第一、四象限，则点A到准线l：x1的距离为3，得A的横坐标为2，纵坐标为2，AB的方程为y2(x1)，与抛物线方程联立可得2x25x20，所以B的横坐标为，纵坐标为，SAOB1(2).(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|PF|x12，|QF|x22，则，联立直线与抛物
11、线方程消去y得k2x2(4k28)x4k20，可知x1x24，故，故选A.答案(1)C(2)A【解题法】抛物线的性质应用技巧及焦点弦问题解题策略(1)用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性(2)抛物线焦点弦问题求解策略求解抛物线焦点弦问题时，除灵活运用焦点弦的有关性质外，还要灵活应用抛物线的定义及数形结合思想求解1如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.
12、答案A解析由题可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则.2.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若4，则|QF|()A. B3C. D2答案B解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM|4.过Q作QHl于H，则|QH|QF|.由题意，得PHQPMF，则有，|HQ|3.|QF|3.3已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A B1C D答案C解析由点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2,0)，kAF，故选C.4设M(x0，
13、y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)答案C解析设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程为y2，由圆与准线相交知44，所以y02.故选C.5平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_答案解析由题意，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由，解得或，故A.所以kAF.由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与
14、另一条渐近线垂直，故kAF1，即1，整理得b2a2，所以c2a2b2a2，故ca，即e.6若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_答案x2解析c2954，c2.椭圆1的右焦点为(2,0)，2，抛物线的准线方程为x2.7已知A是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B(点B在x轴上方)，若|AB|2|AF|，则点A的坐标为_答案(3，2)或解析依题意，若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有|AB|2|AF|2|AA1|，BAA160，直线AF的倾斜角为120.又点F(1,0)，因此直线AF：y(x1)由得，此时
15、点A的坐标是.若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0)是线段AB的中点，又点B的横坐标是1，故点A的横坐标是21(1)3，相应的纵坐标是y2，点A的坐标是(3，2)综上所述，点A的坐标是(3，2)或.8已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，3.(1)若|PF|3，求点M的坐标；(2)求ABP面积的最大值解(1)由题意知焦点F(0,1)，准线方程为y1.设P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到y02，所以P(2，2)或P(2，2)由3，分别得M或M.(2)设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)
16、由得x24kx4m0.于是16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为(2k,2k2m)由3，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以由x4y0得k2m.由0，k20，得f.所以，当m时，f(m)取到最大值，此时k.所以，ABP面积的最大值为.9设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l：ykx1与点P的轨迹相交于A、B两点，且|AB|2，求k的值；(3)设点P的轨迹是曲线C，点Q(1，y0)是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程解(1)过
17、P作x轴的垂线且垂足为N，则|PN|y，由题意可知|PM|PN|， y，化简得x22y(y0)，即为所求(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得x22kx20，x1x22k，x1x22，|AB|2，k43k240，又k20，k21，k1.(3)因为Q(1，y0)是曲线C上一点，122y0，y0，切点为，由yx2，求导得yx，当x1时，k1.则切线方程为yx1，即2x2y10.如图所示，过点P(0，2) 的直线l交抛物线y24x于A，B两点，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程错解错因分析本题可以设出直线l的方程，通过参数法求解容易忽视的是直线l与抛物线交于不
18、同两点时，直线的斜率k是有前提条件的首先，k0；其次，消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围正解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，设直线l的方程为ykx2(k0)与抛物线方程y24x联立，消去y，得k2x24(k1)x40.(*)由根与系数的关系，可得x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)4.又在平行四边形OAMB中，AB的中点为OM的中点所以x1x2x，y1y2y，消去k，得(y2)24(x1)又直线l与抛物线y24x交于不同的两点，故对于(*)，其4(k1)216k232k160，解得k.代入y，可得y0.故点M的轨迹方程为
19、(y2)24(x1)(y0)心得体会时间：45分钟基础组1.2016衡水二中周测若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为()Ay24x By26xCy28x Dy210x答案C解析抛物线y22px，准线为x.点P(2，y0)到其准线的距离为4，4，p4.抛物线的标准方程为y28x，故选C.22016枣强中学仿真已知双曲线C1：1(a0，b0)的焦距是实轴长的2倍若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析2c4a，c2a，又a2b2c2，ba，渐近线yx，
20、又抛物线C2的焦点，d2，p8，抛物线C2的方程为x216y.3. 2016衡水二中月考如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x答案C解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛
21、物线方程为y23x，故选C.4. 2016武邑中学热身已知点M(3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y22x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|QF|的最小值是()A. B3C. D2答案C解析抛物线的准线方程为x，当MQx轴时，|MQ|QF|取得最小值，此时|QM|QF|3，选C.52016衡水二中热身已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2C4 D2答案B解析设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点坐标为，准线方程为x，M在抛物线上，M到焦点的距离等于到准线的距离， 23.解得：p2，y02.
22、点M(2，2)，根据两点距离公式有：|OM| 2.6. 2016武邑中学期末已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy40，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为()A.2 B.1C.2 D.1答案D解析因为抛物线的方程为y24x，所以焦点为F(1,0)，准线方程为x1，因为点P到y轴的距离为d1，所以到准线的距离为d11，又d11|PF|，所以d1d2d11d21|PF|d21，焦点F到直线l的距离d，而|PF|d2d，所以d1d2|PF|d211，选D.72016衡水二中预测已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B
23、两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx2Cx1 Dx2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y，与抛物线方程联立得，消去y整理得：x23px0，可得x1x23p.根据中点坐标公式，有3，p2，因此抛物线的准线方程为x1.82016枣强中学月考过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B、C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|6，2，则|BC|()A. B6C. D8答案A解析不妨设直线l的倾斜角为，其中00)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，准线为l，A为C上一点
24、，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由题意易知B，D两点关于y轴对称，所以|FB|FD|.故BFD为等腰直角三角形设BD交y轴于点E，则|BE|DE|EF|p.所以|BD|2p.故圆F的半径|FA|FB|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA|p.因为ABD的面积为4，所以|BD|d4，即2pp4，得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)故圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|，所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.