1、山西省吕梁市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合M=1，2，3，4，则集合P=x|xM，且2xM的子集个数为( )A2B3C4D82若复数z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则z为( )A1+iB1iC1+iD1i3一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( )ABCD4某等腰三角形中，底角的正弦值为，则顶角的余弦值为( )ABCD5给定下列三个命题：p1：函数y=axax（a0，且a1）在R上为增函数；p2：a，bR，a2ab+b20；p3：cos=cos
2、成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ）则下列命题中真命题为( )Ap1p2Bp2p3Cp2p3Dp1p36执行如图所示的程序枢图，输入的a的值为3，则输出的i=( )A4B5C6D77某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的俯视图的面积为( )AB6+C+3D48若ABC外接圆的圆心为O，半径为4，+2+2=，则在方向上的投影为( )A1BCD49若关于x的不等式4ax13x4（a0，且a1对于任意的x2恒成立，则a的取值范围为( )A（0，）B（0，C2，+）D（2，+）10已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在点C的准线上，且在x轴上方，线段EF
3、的垂直平分线于C的准线交于点Q（1，），与C交于点P，则PEF的面积为( )A5B10C15D2011已知函数f（x）=x（ex），若f（x1）f（x2），则( )Ax1x2Bx1+x2=0Cx1x2Dx12x2212已知A，B分别为椭圆+=1（ab0）的右顶点和上顶点，直线y=kx（k0）与椭圆交于C，D两点，若四边形ABCD的面积最大值为2c2，则椭圆的离心率为( )ABCD二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13若变量x，y满足，则2x+y的取值范围为_14已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7，则三棱
4、柱ABCA1B1C1的体积为_15已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等），则实数x1+x2+x3的取值范围为_16在ABC中，AC=2AB=2，BC=，P是ABC内部的一点，若APB=BPC=CPA，则PA+PB+PC=_三、解答题（共8小题，满分70分）17在公差不为零的等差数列an中，a1=2且a1、a2、a4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=（1）n+1（+），求数列bn的前2n1项的和T2n118如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，E为PD上异于P，D的一点（）设平面ABE与PC
5、交于点F，求证EFCD；（）若AD=AB=1，BC=，tanBPC=，求四棱锥PABCD的体积19某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价计费未超出分布按平价计费为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人员已将90户的用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：18 63 43 119 65 77 29 97 52 100组别月用电量频数统计频数频率10，20）220，40）正正一340，60）正正正正460，80）正正正正正580，100）正正
6、正正6100，120）（）完成频率分布表并绘制频率分布直方图；（）根据已有信息，试估计全市住户的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）若该市计划让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a20已知椭圆E的两焦点分别为（1，0）（1，0），且经过点（1，）（）求椭圆E的方程；（）过P（2，0）的直线l交E于A、B两点，且=3，设A、B两点关于x轴的对称点分别是C、D，求四边形ACDB的外接圆的方程21已知函数f（x）=xlnx（）试求曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（）若x1，试判断方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数22如图，O1
7、与O2交于C、D两点，AB为O1的直径，连接AC并延长交O2于点E，连接AD并延长交O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G（）求证：GFAG；（）过点G作O1的切线，切点为H，若G、C、D三点共线，GE=1，EF=6，求GH的长23在极坐标系中，曲线C的方程为2=，点R（2，）（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标24设函数f（x）=|x3|+|2x4|a（）当a=6时，解不等式f（x
8、）0；（）如果关于x的不等式f（x）0的解集不是空集，求实数a的取值范围山西省吕梁市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合M=1，2，3，4，则集合P=x|xM，且2xM的子集个数为( )A2B3C4D8考点：集合中元素个数的最值 专题：集合分析：根据题意，写出集合P即可解答：解：根据题意，若1P，则21=2M，故不满足题意；若2P，则22=4M，故不满足题意；若3P，则23=6M，故满足题意；若4P，则24=8M，故满足题意；综上，P=3，4，所以集合P的子集有：，3，4，3，4，故选：C点评：本题考查集合的定义及子集，属于基础题2若复数
9、z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则z为( )A1+iB1iC1+iD1i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答：解：z（i1）=（i+1）2，=，故选：B点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为( )ABCD考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：列举出所有情况，看甲掷得的向上的点数比乙大的情况占总情况的多少即可解答：解：甲、乙二人各掷骰子一次，得到所有的基本事
10、件有 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）共36种，显然甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，故甲掷得的向上的点数比乙大的概率为P=故选：C点评：此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件树状图法适用于两步或两
11、步以上完成的事件解题时还要注意是放回实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4某等腰三角形中，底角的正弦值为，则顶角的余弦值为( )ABCD考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：解三角形分析：先设出三个角，利用诱导公式求得cosA=cos2B，再利用余弦的二倍角公式求得答案解答：解：设三角形的顶角为A，底角为B，C，则sinB=sinC=，cosA=cos（2B）=cos2B=（12sin2B）=（12）=，故选：A点评：本题主要考查了诱导公式和二倍角公式的化简求值解题过程中注意对三角函数符号的判断5给定下列三个命题：p1：函数y=axax（a0，且a
12、1）在R上为增函数；p2：a，bR，a2ab+b20；p3：cos=cos成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ）则下列命题中真命题为( )Ap1p2Bp2p3Cp2p3Dp1p3考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：p1：当0a1时，函数y=axax（a0，且a1）在R上是减函数，即可判断出真假；p2：a，bR，a2ab+b2=0，即可判断出真假；p3：cos=cos=2k（kZ），根据充要条件的定义即可判断出其关系解答：解：p1：当0a1时，函数y=axax（a0，且a1）在R上是减函数，是假命题；p2：a，bR，a2ab+b2=0，因此不存在a，bR，a2ab+b20，是假命
13、题；p3：cos=cos=2k（kZ），因此cos=cos成立的一个充分不必要条件是=2k+（kZ），是真命题因此p1p2，p2p3，p1p3是假命题；p2p3是真命题故选：C点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、实数的性质、指数函数的单调性、三角函数的性质，考查了推理能力，属于基础题6执行如图所示的程序枢图，输入的a的值为3，则输出的i=( )A4B5C6D7考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的M，N，i的值，当M=115，N=243时，不满足条件MN，退出循环，输出i的值为6解答：解：模拟执行程序框图，可得a=3，M=100，N=1，i=
14、1满足条件MN，M=103，N=3，i=2满足条件MN，M=106，N=9，i=3满足条件MN，M=109，N=27，i=4满足条件MN，M=112，N=81，i=5满足条件MN，M=115，N=243，i=6不满足条件MN，退出循环，输出i的值为6故选：C点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查7某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的俯视图的面积为( )AB6+C+3D4考点：简单空间图形的三视图 专题：空间位置关系与距离分析：根据几何体的三视图，得出该几何体上部为正六棱锥，下部为圆
15、柱，结合数据特征求出侧视图的面积即可解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体的上部为正六棱锥，下部为圆柱，侧视图如图所示；它的面积为23+2sin=故选：A点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了面积公式的应用问题，是基础题目8若ABC外接圆的圆心为O，半径为4，+2+2=，则在方向上的投影为( )A1BCD4考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：如图所示，利用向量的三角形法则可得：，取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得，则ODBC，可得，可得，CD，可得向量在方向上的投影解答：解：如图所示，+2+2=，+=，取BC的中点D，连接OD并延长到点E，使得，则
16、ODBC，=3，CD=在方向上的投影为，故选：B点评：本题考查了菱形的性质、向量的平行四边形法则、三角形外心的性质、向量的投影、勾股定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9若关于x的不等式4ax13x4（a0，且a1对于任意的x2恒成立，则a的取值范围为( )A（0，）B（0，C2，+）D（2，+）考点：函数恒成立问题 专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：关于x的不等式4ax13x4（a0，且a1对于任意的x2恒成立，即为3x44ax10对于任意的x2恒成立令f（x）=3x44ax1，即有f（x）的最小值大于0，求出导数，对a讨论，当0a1时，当a1时，
17、判断函数的单调性，求出极值、最值，即可得到a的范围解答：解：关于x的不等式4ax13x4（a0，且a1对于任意的x2恒成立，即为3x44ax10对于任意的x2恒成立令f（x）=3x44ax1，即有f（x）的最小值大于0，f（x）=34ax1lna，当0a1时，lna0，f（x）0，f（x）在x2递增，即有f（x）f（2），则0f（2），即为24a0，解得a，则为0a；当a1时，lna0，令f（x）=0的根为x=m，当xm，f（x）0，f（x）递减，当xm，f（x）0，f（x）递增即有x=m处取得极大值，若m2，则f（x）递减，无最小值，不成立；若m2，则f（x）有最大值，不成立综上可得，a的范
18、围为：0a故选B点评：本题考查不等式的恒成立问题注意转化为求函数的最值或范围，同时考查函数的导数的运用，根据函数的单调性和分类讨论的思想方法是解题的关键10已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在点C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线于C的准线交于点Q（1，），与C交于点P，则PEF的面积为( )A5B10C15D20考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线方程求出焦点坐标，设出E的坐标（1，m），利用EF和QP垂直求得m的值，则EF、QP的方程可求，求出EF的长度，求出P的坐标，由三角形的面积公式求得PEF的面积解答：解：如图，由抛物线方程为y2=4
19、x，得F（1，0），设E（1，m）（m0），则EF中点为G（0，），又Q（1，），则，解得：m=4E（1，4），则|EF|=，直线EF的方程为，化为一般式得：2x+y2=0QG所在直线方程为y=，即x2y+4=0联立，得，即P（4，4），P到直线EF的距离为d=则PEF的面积为故选：B点评：本题考查了抛物线的简单性质，考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题11已知函数f（x）=x（ex），若f（x1）f（x2），则( )Ax1x2Bx1+x2=0Cx1x2Dx12x22考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用
20、分析：先容易判断出f（x）在R上是偶函数，所以通过求导可以判断该函数在0，+）上单调递增，所以由f（x1）f（x2）得到f（|x1|）f（|x2|），所以由单调性即可得到|x1|x2|，所以解答：解：f（x）=f（x）；f（x）在R上为偶函数；x0时，f（x）0；所以f（x）在0，+）上为增函数；而由f（x1）f（x2）得，f（|x1|）f（|x2|）；|x1|x2|；故选D点评：考查偶函数的定义及判断过程，函数导数符号和函数单调性的关系，以及偶函数定义的运用：对于偶函数f（x），f（x1）f（x2）和f（|x1|）f（|x2|）等价12已知A，B分别为椭圆+=1（ab0）的右顶点和上顶点，直
21、线y=kx（k0）与椭圆交于C，D两点，若四边形ABCD的面积最大值为2c2，则椭圆的离心率为( )ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：联立直线方程和椭圆方程，求出C，D的坐标，得到|CD|，再由点到直线的距离公式求出A，B到直线的距离，把四边形的面积转化为两个三角形的面积和，由基本不等式求得最大值，结合最大值为2c2求得椭圆的离心率解答：解：如图，联立，得C（），D（），|CD|=A（a，0）到直线kxy=0的距离为=，B（0，b）到直线kxy=0的距离为，四边形ABCD的面积S=当且仅当ak=b，即k=时上式等号成立，即2a2b2=4c4，a2b2=2c4，
22、则a2（a2c2）=2c4，解得：故选：D点评：本题考查了椭圆的几何性质，训练了点到直线的距离公式的应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13若变量x，y满足，则2x+y的取值范围为2，2考点：简单线性规划的应用；分段函数的应用 专题：不等式的解法及应用分析：画出约束条件的可行域，将z=2x+y化为y=2x+z，z相当于直线y=2x+z的纵截距，由几何意义可得解答：解：由题意作出平面区域，将z=2x+y化为y=2x+z，z相当于直线y=2x+z的纵截距，由解得，x=1，y=0；B（1，0）由解得，x=1，y=0；故2z2，即Z=2x+y的取值范
23、围为2，2故答案为：2，2点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题14已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7，则三棱柱ABCA1B1C1的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案解答：解：如图，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，再设球的半径为r，由球O的表面积
24、为7，得4r2=7，设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为，且球心O到上底面中心H的距离OH=，即r=，a=则三棱柱的底面积为S=故答案为：点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题15已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1，x2，x3互不相等），则实数x1+x2+x3的取值范围为（1，8）考点：分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：作出函数f（x）=|2x+1|的图象，令t=f（x1）=f（x2）=f（x3），设x1x2x3，由图象的对称性可得x1+x2=1，由条件可得2x39作出y=log2（xm）（x1）的图象，由0t
25、3，即可得到m的值解答：解：作出函数f（x）=|2x+1|的图象，x=1时，f（1）=3，令t=f（x1）=f（x2）=f（x3），设x1x2x3，则有x1+x2=1，作出y=log2（x1）（x1）的图象，若f（x1）=f（x2）=f（x3），则0f（x3）3由y=3，即有log2（x1）=3，x=9，即x39，y=0时，有log2（x1）=0，解得x=2，即x32，可得x1+x2+x3的取值范围为（1，8），故答案为：（1，8）点评：本题考查分段函数的图象和运用，主要考查函数的对称性和对数的运算性质，正确画图和通过图象观察是解题的关键16在ABC中，AC=2AB=2，BC=，P是ABC内部
26、的一点，若APB=BPC=CPA，则PA+PB+PC=考点：正弦定理 专题：综合题；解三角形分析：由APB=BPC=CPA=120，ACB=60，可以得到ACP=PBC，判定两个三角形相似，然后用相似三角形的性质计算求出PB、PC的长，再利用余弦定理求出PA，即可得出结论解答：解：延长BP到B取点E，使PE=PC，EB=AP，BPC=120，EPC=60，PCE是正三角形，CEB=120=APCAP=EB，PC=EC，PC=CE，ACPBCE，PCA=BCE，AC=BC=2PCA+ACE=ACE+ECPACB=PCE=60，AC=2AB=2，BC=，AC2+BC2=AB2，ABC=90，ACB
27、=30BCB=90，PE=PC，AP=BEPA+PB+PC=PA+EP+BE=BB=，故答案为：点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题（共8小题，满分70分）17在公差不为零的等差数列an中，a1=2且a1、a2、a4成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设bn=（1）n+1（+），求数列bn的前2n1项的和T2n1考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（I）设等差数列an的公差为d0，由a1=2且a1、a2、a4成等比数列，可得，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）bn=（1）n+1（+）=，
28、利用“累加求和”即可得出解答：解：（I）设等差数列an的公差为d0，a1=2且a1、a2、a4成等比数列，即（2+d）2=2（2+3d），化为d22d=0，d0，解得d=2an=2+2（n1）=2n（II）bn=（1）n+1（+）=，数列bn的前2n1项的和T2n1=+=1+点评：本题考查了等差数列的通项公式、“累加求和”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，E为PD上异于P，D的一点（）设平面ABE与PC交于点F，求证EFCD；（）若AD=AB=1，BC=，tanBPC=，求四棱锥PABC
29、D的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（）由ABCD，利用线面平行的判定定理得到AB平面PDC，再由线面平行的性质得到ABEF，由平行公理得到EFCD；（）由已知求出BC长，进一步证明PBC为直角三角形，求得PB，得到PD，然后求出底面直角梯形的面积，代入棱锥体积公式得答案解答：（）证明：如图，ABCD，CD面PDC，AB面PDC，AB平面PDC，又平面ABE平面PDC=EF，ABEF，则EFCD；（）解：由ADCD，ABCD，AD=AB=1，BC=，可得BD=，CD=2，BCBD，又PD底面ABCD，PDBC，BC平面PBD，则BCPBtanBPC=，PB=，则
30、PD=1，又，点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题19某市为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价计费未超出分布按平价计费为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，工作人员已将90户的用电量填在了下面的频率分布表中，最后10户的月用电量（单位：度）为：18 63 43 119 65 77 29 97 52 100组别月用电量频数统计频数频率10，20）220，40）正正一34
31、0，60）正正正正460，80）正正正正正580，100）正正正正6100，120）（）完成频率分布表并绘制频率分布直方图；（）根据已有信息，试估计全市住户的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）若该市计划让全市75%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，试求临界值a考点：频率分布直方图；频率分布表 专题：概率与统计分析：（）根据题目中的数据，补充完整频率分布表，绘制出频率分布直方图；（）根据频率分布直方图，计算样本的平均数；（）列出累计频率表，计算临界值a即可解答：解：（）补充频率分布表，如下：组别月用电量频数统计频数频率10，2040.04220，40正正T120.12
32、340，60正正正正240.24460，80正正正正正正300.30580，100正正正正正250.256100，120正50.05绘制频率分布直方图，如下；（）根据题意，估计全体住户的平均用电量（同一组数据用该区间的中点值作代表）为100.04+300.12+500.24+700.30+900.25+1100.05=65度；（）计算累计频率，可得下表；分组0，20）20，40）40，60）60，80）80，100）100，120频率0.040.120.24 0.30 0.250.05累计频率0.040.160.40 0.70 0.951.00由此可知临界值a应在区间80，100）内，且频率分
33、布直方图中，在临界值a左侧的总面积（概率）为0.75，故有0.7+（a80）0.0125=0.75，解得a=84，临界值a为84点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，也考查了平均数的计算问题，是基础题目20已知椭圆E的两焦点分别为（1，0）（1，0），且经过点（1，）（）求椭圆E的方程；（）过P（2，0）的直线l交E于A、B两点，且=3，设A、B两点关于x轴的对称点分别是C、D，求四边形ACDB的外接圆的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意可得c=1，进而可得a2=b2+1，把点（1，）代入+=1可得系数，可得方程；（
34、）设l：x=my2，代入椭圆E+y2=1并整理可得（m2+2）y24my+2=0，由韦达定理可得m2=4不妨取m=2可得圆心和半径，可得方程解答：解：（）由题意可得c=1，a2=b2+1，把点（1，）代入+=1可得+=1，解得b2=1，a2=b2+1=2，椭圆E的方程为+y2=1；（）由题意设l：x=my2，代入椭圆E+y2=1并整理可得（m2+2）y24my+2=0，由=16m28（m2+2）0可解得m22，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，由=3可得y2=3y1，由解得m2=4符合m22不妨取m=2，则线段AB的垂直平分线方程为y=2x，则所求圆的圆心为（，
35、0），又可得B（0，1），圆的半径r=所求圆的方程为（x+）2+y2=点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，设计椭圆的标准方程和圆的知识，属中档题21已知函数f（x）=xlnx（）试求曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程；（）若x1，试判断方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用分析：（）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（）方程f（x）=（x1）（axa+1）即为xlnx（x1）（axa+1）=0，对a讨论，令g（x）=xlnx（x1）（a
36、xa+1），求出导数，当a0时，当a时，当0时，通过导数判断单调性和极值，结合零点存在定理，即可判断方程解的个数解答：解：（）由f（x）=xlnx，得f（x）=lnx+1，则f（e）=2，又f（e）=e，曲线y=f（x）在点（e，f（e）处的切线方程为ye=2（xe），即y=2xe；（）由f（x）=（x1）（axa+1），得f（x）（x1）（axa+1）=0，令g（x）=f（x）（x1）（axa+1）=xlnx（x1）（axa+1），g（x）=lnx+1（axa+1）（axa）=lnx2a（x1），x1，lnx0，当a0时，g（x）0，g（x）为增函数，g（x）g（1）=0，则方程f（x）=（
37、x1）（axa+1）的解的个数为0个；当a0时，令h（x）=lnx2a（x1），则h（x）=2a，由h（x）=0，得x=，当x（）时，h（x）0，h（x）在（）上为减函数，若，即a，h（x）h（1）=0，即g（x）0，g（x）在（1，+）上为减函数，g（x）g（1）=0，则方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为0个；若，即0，由h（x）在（1，）上单调递增，在（）上单调递减，且h（1）=0，h（x）=g（x）在和上各有一个零点，即函数g（x）在和上各有一个极值点，设为x1，则g（x）在（1，x1），（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，g（x1）为极小值，g（x2）为极
38、大值，g（x1）g（1）=0，g（x2）=x2lnx2（x21）（ax2a+1）=x22a（x21）（x21）（ax2a+1）=（ax2+a1）（x21）当x2，g（x2）0，方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为1；当x2，g（x2）0，方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为0综上可得，当a0时，方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为0；当a时，方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为0；当0时，方程f（x）=（x1）（axa+1）的解的个数为0或1点评：本题考查导数的运用：求切线方程，同时考查零点的个数，运用分类讨论的思想方法是解题的关键22如图，O1
39、与O2交于C、D两点，AB为O1的直径，连接AC并延长交O2于点E，连接AD并延长交O2于点F，连接FE并延长交AB的延长线于点G（）求证：GFAG；（）过点G作O1的切线，切点为H，若G、C、D三点共线，GE=1，EF=6，求GH的长考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；推理和证明分析：（）利用四点共圆证明：GEC=ABC，进一步证明EGA=90，即可证明GFAG；（）利用切割线定理可得GH2=GEGF，即可求出GH解答：（）证明：连接BC，GD，则因为AB为O1的直径，所以ACB=90，所以ABC+CAB=90，由A，B，C，D四点共圆，得ABC=FDC；由C，D，F，E四点共圆，得GE
40、C=FDC，所以GEC=ABC，所以GEC+CAB=90，所以EGA=90所以GFAG；（）解：因为GH为O1的切线，GCD为O1的割线，所以GH2=GCGD，因为GCD，GEF为O2的割线，所以GCGD=GEGF，所以GH2=GEGF，所以GH=点评：本题考查四点共圆的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题23在极坐标系中，曲线C的方程为2=，点R（2，）（）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；（）设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此
41、时P点的直角坐标考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（）首先根据变换关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把极坐标转化成直角坐标（）把椭圆的直角坐标形式转化成参数形式，进一步把矩形的周长转化成三角函数的形式，通过三角恒等变换求出最小值，进一步求出P的坐标解答：解：（）由于x=cos，y=sin，则：曲线C的方程为2=，转化成点R的极坐标转化成直角坐标为：R（2，2）（）设P（）根据题意，得到Q（2，sin），则：|PQ|=，|QR|=2sin，所以：|PQ|+|QR|=当时，（|PQ|+|QR|）min=2，矩形的最小周长为4，点P（）点评：本题考查的知识要点：极坐标
42、方程转化成直角坐标方程，极坐标和直角坐标的互化，三角函数关系式的恒等变换，求正弦型函数的最值问题24设函数f（x）=|x3|+|2x4|a（）当a=6时，解不等式f（x）0；（）如果关于x的不等式f（x）0的解集不是空集，求实数a的取值范围考点：绝对值不等式的解法 专题：选作题；不等式分析：（1）先分类讨论，根据x的范围先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解（2）求出函数的最小值，原问题等价为a|x3|+|2x4|min，从而求出a的范围；解答：解：（1）原不等式|x3|+|2x4|6当x2时，原不等式化为3x+10，解得x，x；当2x3时，原不等式化为x70，是；当x3时，原不等式化为3x130，解得x综上，原不等式解集为x|x或x；（2）y=|x3|+|2x4|=当x2时，y1当2x3时，1y2当x3时，y2综上y1，原问题等价为a|x3|+|2x4|mina1点评：此题考查绝对值不等式的解法，运用了分类讨论的思想，解题的关键是去掉绝对值，此类题目是2015届高考常见的题型
