1、 第4讲基本不等式考纲展示命题探究1基本不等式及有关结论(1)基本不等式：如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数(2)重要不等式：aR，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(3)几个常用的重要结论2(a与b同号，当且仅当ab时取等号)；a2(a0，当且仅当a1时取等号)，a2(a0，当且仅当ab时取等号)2利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值(简记：和定积最大)注意点基本不等式的使用条件(1)
2、求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立(2)连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立. 1思维辨析(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab2成立的条件是ab0.()(3)当a0，b0时，.()(4)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()答案(1)(2)(3)(4)2当x1时，关于函数f(x)x，下列叙述正确的是()A函数f(x)有最小值2B函数f(x)有最大值2C函数f(x)有最小值3D函数f(x)有最大值3答案C解析x1，x10，f(x)xx11213，等号成立的条件为当且仅当x1，即
3、x2.3已知x，yR，且满足1，则xy的最大值为_答案3解析x0，y0且12，xy3.当且仅当时取等号即x，y2时，xy取得最大值3.考法综述高考中对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识进行综合考查，同时运用基本不等式的性质求参数范围、证明不等式等也是热点命题法利用基本不等式求最值典例(1)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74(2)若实数x，y满足xy1，则x22y2的最小值为_解析(1)由log4(3a4b)log2，可得3a4bab，且a0，b0，1，即1，所以ab(ab)77274，当且仅当a2b时等号
4、成立故选D.(2)x22y222xy2，当且仅当xy时等号成立，x22y2的最小值为2.答案(1)D(2)2【解题法】利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路 对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解 条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值 (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等1已知正数a，b的等比中项是2，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4C5 D6答案C
5、解析由已知正数a，b的等比中项是2，可得ab4，又mb，na，mn(ab)25，当且仅当ab2时取“”，故mn的最小值为5，故选C.2若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是_答案解析由sinAsinB2sinC及正弦定理可得ab2c.故cosC，当且仅当3a22b2，即时等号成立所以cosC的最小值为.3.若x，y为正整数，且满足1，则xy的最小值为_扫一扫听名师解题答案36解析xy(xy)2020236，当且仅当即时等号成立1不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(x
6、D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA在区间D上恰成立f(x)A的解集为D；不等式f(x)B在区间D上恰成立f(x)0且y0”是“2”的充要条件()(3)若a0，则a3的最小值为2.()(4)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()答案(1)(2)(3)(4)2把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A4 B8C16 D32答案B解析设截成的两段铁丝的长分别为x，16x，16x0，
7、则围成的两个正方形面积之和为S228，当且仅当，即x8时，等号成立故两个正方形面积之和的最小值为8，故选B.3一段长为40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是_答案100 m2解析设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(xy)40，即xy20.矩形的面积Sxy2100，当且仅当xy10时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大面积是100 m2.考法综述问题的设置背景经常是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解解题时经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及yax(a0
8、，b0)等解函数应用题中的最值问题一般利用二次函数的性质、基本不等式、函数的单调性或导数来解决命题法基本不等式在实际问题中的应用典例某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：(1)仓库面积S的最大允许值是多少；(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长解(1)设正面的长度为x米，侧面长为y米由题意，知40x2y4520xy3200.因为40x90y2120(当且仅当40x90y时，取等号成立)，所以320012020xy，即(10)(16)
9、0.所以00，所以2，0，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.2要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)答案160解析设池底长x m，宽y m，则xy4，所以y，则总造价为：f(x)20xy2(xy)1108020x2080，x(0，)所以f(x)20280160，当且仅当x，即x2时，等号成立所以最低总造价是160元3在ABC中，已知9，sinBcosAsinC，SABC6，P为线段AB上的点，且xy，则xy的最大值为_答案3解析由9，得bccosA9.由sinBcosAsinC，
10、得bccosA.由SABC6，得bcsinA6，由上述三式可解得b3，c5，cosA，sinA，由余弦定理得a2325223516，a4，可见ABC是直角三角形，以C为坐标原点，CA，CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则(3,0)，(0,4)，(1,0)，(0,1)，则xyx(1,0)y(0,1)(x，y)，又P在直线AB上，故有1(x0，y0)12，xy3.当且仅当，即x，y2时等号成立4首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨
11、，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为yx2200x80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元 (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002200200，当且仅当x，即x400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元(2)不获利设该单位每月获利为S元，则S100xy100xx2300x80000(
12、x300)235000，因为x400,600，所以S80000，40000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A. B.C5 D6错解错因分析(1)不能根据函数解析式的特征适当变形，化为两式之和为定值，使题目无法进行(2)两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性出错如本题易出现：x3y5xy2，xy，又3x4y22 ，误选A项，第一个等号成立条件“x3y”，而第二个等号成立条件为“3x4y”，显然等号不能同时成立，故不正确正解由x3y5xy可得1，所以3x4y(3x4y)2 5，当且仅当x1，y时取等号，故3x4y的
13、最小值是5.答案C心得体会 时间：45分钟基础组1.2016衡水中学仿真下列命题正确的是()A若xk，kZ，则sin2x4B若a0，b0，则lgalgb2D若a0，b0，则2答案D解析当sin2x1时，1124，所以A错；若a0，则a4，B错；因为lga，lgb可以小于零，C错；由a0，bbc0，则2a210ac25c2的最小值是()A2 B4C2 D5答案B解析原式a2a210ac25c2a2(a5c)2a204，当且仅当bab、a5c且a2，即a2b5c时等号成立，故原式的最小值为4.故选B.42016衡水中学热身已知a0，b0，且2ab4，则的最小值为()A. B4C. D2答案C解析由
14、42ab2，得ab2，又a0，b0，所以，当且仅当a1，b2时等号成立5. 2016枣强中学期中已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_答案9解析由已知得1，则10(102)9，当且仅当x，y时取等号62016衡水二中预测已知x0，y0，若m22m恒成立，则实数m的取值范围是_答案4m0，y0，则0，0，所以28，当且仅当，即y2x时等号成立即的最小值为8.若m22m恒成立，必有m22m8恒成立，所以m22m8，m22m80，即4m8.证明因为x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，所以11，1，又x，y，z为正数，由，得8.102016冀州中学仿真证明：a7(a3)证明因为a3，所以a(a
15、3)323237.当且仅当a3，即a5时，等号成立112016武邑中学猜题已知lg (3x)lg ylg (xy1)(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解由lg (3x)lg ylg (xy1)，得(1)x0，y0，3xyxy121.3xy210，即3()2210，(31)(1)0，1，xy1.当且仅当xy1时，等号成立xy的最小值为1.(2)x0，y0，xy13xy32.3(xy)24(xy)40，3(xy)2(xy)20，xy2，当且仅当xy1时取等号，xy的最小值为2.12.2016衡水二中期末如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱污水从A孔流入，经
16、沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?解解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k为比例系数，且k0.根据题意有，4b2ab2a60(a0，b0)，所以b(0a0.根据题意有，4b2ab2a60(a0，b0)，即2baba30.因为a2b2，所以30aba2b2.所以ab2300.因为a0，b0，所以00，a20120，所以21.所以的最小值为1.14. 2016衡水二中期中设M，N()xy，P3(x，y0，且x
17、y)，则M，N，P大小关系为()AMNP BNPMCPMN DPNM答案D解析由基本不等式可知33，因为xy，所以等号不成立，故PNM.152016衡水中学热身若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_答案解析(xy)2x22xyy2x2xyy2xy1xy，要使其有最大值，不妨设x，y均为正数，故有x2y2xy12xyxy3xy，即xy，当且仅当xy时取等号，所以(xy)21xy，则xy的最大值是.16. 2016武邑中学月考某厂家拟在2015年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的
18、年销售量只能是1万件已知2015年生产该产品的固定投入为8万元每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2015年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2015年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解(1)由题意知，当m0时，x1(万件)，13kk2，x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，2015年的利润y1.5x816xm29(m0)(2)m0时，(m1)28，y82921，当且仅当m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家2015年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元