1、第三章 导数及其应用A 基础达标1函数 f(x)x33x1 在闭区间3，0上的最大值和最小值分别是()A1，1 B1，17C3，17 D9，19第三章 导数及其应用解析：选 C.f(x)3x233(x1)(x1)，令 f(x)0，得 x1.又 f(3)279117，f(0)1，f(1)1313，13，0，所以最大值为 3，最小值为17.第三章 导数及其应用2函数 f(x)x12x 在区间0，)上()A有最大值，无最小值B有最大值，有最小值C无最大值，无最小值D无最大值，有最小值第三章 导数及其应用解析：选 A.由已知得 f(x)的定义域为0，)，f(x)12 x12，令 f(x)0，得 f(x
2、)的单调增区间为0，1)；令 f(x)0，得 f(x)的单调减区间为(1，)所以 f(x)在区间0，)上有最大值，无最小值第三章 导数及其应用3函数 f(x)xex在区间2，4上的最小值为()A0 B.1eC.4e4D.2e2第三章 导数及其应用解析：选 C.f(x)exxex（ex）21xex，当 x2，4时，f(x)0，即函数 f(x)在 x2，4上是单调递减函数，故当x4 时，函数 f(x)有最小值4e4.第三章 导数及其应用4已知 f(x)2x36x2m(m 为常数)在2，2上有最大值 3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对第三章 导数及其应用解析：选
3、A.因为 f(x)6x212x6x(x2)，所以 f(x)在(2，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，所以当 x0 时，f(0)m 最大，所以 m3.因为 f(2)37，f(2)5，所以最小值为37.第三章 导数及其应用5函数 f(x)x33axa 在(0，1)内有最小值，则 a 的取值范围为()A0a1 B0a1C1a1 D0a12第三章 导数及其应用解析：选 B.因为 f(x)3x23a，令 f(x)0，可得 ax2，所以 x a，又因为 x(0，1)，所以 0 a1，即 0a1，故选 B.第三章 导数及其应用6当函数 yx2cos x 在0，2 上取得最大值时，x 的值为_解析：y(
4、x2cos x)12sin x.当 x0，6 时，f(x)0，f(x)单调递增，当 x6，2 时，f(x)0，f(x)单调递减，所以 f(x)maxf6.答案：6第三章 导数及其应用7函数f(x)3xsin x在x0，上的最小值为_解析：f(x)3xln 3cos x.因为 x0，时，3xln 31，1cos x1，所以 f(x)0.所以 f(x)在 x0，上递增，所以 f(x)minf(0)1.答案：1第三章 导数及其应用8若存在正数 x 使 2x(xa)1 成立，则 a 的取值范围是_第三章 导数及其应用解析：因为 2x(xa)1，所以 ax 12x.令 f(x)x 12x，所以 f(x)
5、12xln 20，所以 f(x)在(0，)上单调递增，所以 f(x)f(0)011，所以 a 的取值范围为(1，)答案：(1，)第三章 导数及其应用9已知函数 f(x)x3ax22，x2 是 f(x)的一个极值点，求：(1)实数 a 的值；(2)f(x)在区间1，3上的最大值和最小值第三章 导数及其应用解：(1)因为 f(x)3x22ax，f(x)在 x2 处有极值，所以 f(2)0，即 344a0，所以 a3.(2)由(1)知 a3，所以 f(x)x33x22，f(x)3x26x.令 f(x)0，得 x10，x22.第三章 导数及其应用当 x 变化时 f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1
6、(1，0)0(0，2)2(2，3)3 f(x)00 f(x)2 2 2 2从上表可知 f(x)在区间1，3上的最大值是 2，最小值是2.第三章 导数及其应用10已知函数 f(x)x2ex.(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若存在 x0，使 ln f(x)ax 成立，求实数 a 的取值范围第三章 导数及其应用解：(1)定义域为 R，f(x)x（x2）ex，当 x0 或 x2 时，f(x)0；当 0 x2 时，f(x)0，所以 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(，0)，(2，)第三章 导数及其应用(2)f(x)x2ex(x0)，由 ln f(x)ax，得 a2ln xxx，设 g(x)
7、2ln xxx，则 g(x)2（1ln x）x2，所以当 0 xe 时，g(x)0；第三章 导数及其应用当 xe 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，g(x)maxg(e)2e1，所以 a 的取值范围是，2e1.第三章 导数及其应用B 能力提升11已知函数 f(x)、g(x)均为(a，b)上的可导函数，在a，b上连续且 f(x)g(x)，则 f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a)Bf(b)g(b)Cf(a)g(b)Df(b)g(a)第三章 导数及其应用解析：选 A.f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以函数 f(x)g(x)在a，b上单调递减，所以
8、f(x)g(x)的最大值为 f(a)g(a)第三章 导数及其应用12若 0 x2，则下列不等式正确的是()Asin x2xBsin x2xCsin x3xDsin x3x第三章 导数及其应用解析：选 B.设 f(x)sin x2x，则 f(x)cos x2.设 cos x02x00，2，则 f(x)在(0，x0)上单调递增，在x0，2 上单调递减又 f(0)0，f2 0，所以当 0 x2时，f(x)0，所以 sin x2x，故 A 不正确，B 正确 当 x6时，sin x123x，所以 C，D 都不正确 第三章 导数及其应用13已知函数 f(x)xln x，g(x)x3ax2x2.(1)求函数
9、 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x(0，)，2f(x)g(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围第三章 导数及其应用解：(1)因为函数 f(x)xln x 的定义域为(0，)，所以 f(x)ln x1.令 f(x)0，得 ln x10，解得 0 x0，得 ln x10，解得 x1e，所以 f(x)的单调递增区间是1e，.第三章 导数及其应用(2)因为 g(x)3x22ax1，由题意得 2xln x3x22ax1 恒成立 因为 x0，所以 aln x32x 12x在 x(0，)上恒成立 设 h(x)ln x32x 12x(x0)，则 h(x)1x32 12x2（x1）（3x1）2x2.令
10、h(x)0，得 x11，x213(舍去)第三章 导数及其应用当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，)h(x)0 h(x)极大值 故当 x1 时，h(x)取得最大值，且 h(x)maxh(1)2，所以若 ah(x)在 x(0，)上恒成立，则 ah(x)max2，即 a2.故 a 的取值范围是2，)第三章 导数及其应用14(选做题)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围第三章 导数及其应用解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.若 a0，则 f(x)0
11、，所以 f(x)在(0，)上单调递增 若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0.所以 f(x)在0，1a 上单调递增，在1a，上单调递减 第三章 导数及其应用(2)由(1)知，当 a0 时，f(x)在(0，)上无最大值；当 a0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1a ln 1aa11a ln aa1.因此 f1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，g(a)1a10，则 g(a)在(0，)上单调递增，又 g(1)0，于是，当 0a1 时，g(a)0；当 a1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0，1)第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放