1、十空间中的距离 (15分钟30分)1正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为()Aa Ba C Da【解析】选A.如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为a，所以E，F(，0)，M(，a，)，N(0，)，P(，0，)，Q(a，).这个几何体是正八面体，棱长PQa.所以这个几何体的棱长为a.2已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，则点A到平面BCC1B1的距离等于()A1 B C D【解析】选D.因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，所以ABC是边长为1的等边三角形，BB1平面ABC，取BC中点D，连接AD，则ADBC，ADBB1，因为BCBB1B
2、，所以AD平面BCC1B1，则点A到平面BCC1B1的距离为AD.3在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，则点P到BC的距离是()A. B2 C3 D4【解析】选D.过点A作ADBC于点D，连接PD，因为ABAC5，BC6，所以BDDC3，又因为PA平面ABC，ADBC，所以BCPD，所以点P到BC的距离是PD的长，在ADC中，AC5，DC3，所以AD4，在RtPAD中，PD4.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，AD2，AB4，E是AC的中点，则D1E_，点A到D1C的距离为_【解析】建系如图，则A，D1，C，E，所以，所以.设F满足，所以，所以F，由0得，所以
3、，即点A到D1C的距离为.答案：5已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，求直线AC1与平面BED的距离【解析】连接AC交BD于点O，连接EO，则OEAC1，得AC1平面BED，所以AC1到平面BED的距离，即为C1点到平面BED的距离，又C1ECE且CC1平面BEDE，所以C1点到平面BED的距离等于C点到平面BED的距离又BD平面ECO，所以平面BED平面ECO，过点C作CHEO于点H，则CH的长即为点C到平面BED的距离，所以CH1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若点P满足，则点P
4、到直线AB的距离为()A B C D【解析】选B.如图，过点P作PM平面ABCD于点M，过点M作NMAB于点N，连接PN，则PN的长即为所求，因为满足，所以AN，MN，MP，所以PN.2如图，在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BCBD2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，则点B到平面ACD的距离为()A. B C D【解析】选B.在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，以B为原点，BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，BCBD2，点E是CD的中点，设BAt，则A(0，0，t)，B(0，0，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，(0
5、，0，t)，(2，0，t)，(2，2，0)，设平面ACD的法向量n(x，y，z)，则，取x1，得n，因为直线AB与平面ACD所成角的正弦值为，所以，解得t4(t4，舍)，所以平面ACD的法向量n，(0，0，4)，所以点B到平面ACD的距离为d.3(2020遂宁模拟)用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体已知正六面体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为()A B C D2【解析】选C.由题意正六面体ABCDA1B1C1D1是棱长为4的正方体，因为AB1DC1，B1D1BD，AB1B1D1B1，C1DBDD，所以平面AB1D1平面BC1D，连接A1C
6、，可得A1C平面AB1D1，A1C平面BC1D.设垂足分别为E，F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为EF的长正方体的棱长为4.在三棱锥A1AB1D1中，由等体积法求得：A1E.所以平面AB1D1与平面BC1D间的距离为4.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA15，P是棱DD1上的动点，则PA1C的面积最小时，DP()A1 B2 C D4【解析】选A.以点A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，5)，C(1，2，0)，P(0，2，z)(0z5)，所以PA1，A1C，PC，所以cos A1PC，所以sin A
7、1PC，所以SPA1CPA1PC sin A1PC，当且仅当z1时取等号，即当z1时，PA1C的面积取得最小值.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，F是棱A1D1上的动点下列说法不正确的是()A.对任意动点F，在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线B对任意动点F，在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线C当点F从A1运动到D1的过程中，二面角FBCA的大小不变D当点F从A1运动到D1的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变大【解析】选ABD.因为AD在平面ADD1A1内，且平行平面CBF，故
8、A不正确；平面CBF即平面A1D1CB，又平面A1D1CB与平面ABCD斜相交，所以在平面ABCD内不存在与平面CBF垂直的直线，故B不正确；平面CBF即平面A1D1CB，平面A1D1CB与平面ABCD是确定平面，所以二面角不改变，故C正确；平面CBF即平面A1D1CB，点D到平面A1D1CB的距离为定值，故不正确6已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AA12，则()AD1C平面A1BC1B异面直线A1B与AC所成角的余弦值为CAC平面BB1D1DD点B1到平面A1BCD1的距离为【解析】选ACD.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为A1D1BC，A1D1BC，所以
9、四边形BA1D1C为平行四边形，则D1CA1B.因为A1B平面A1BC1，D1C平面A1BC1，所以D1C平面A1BC1，故A正确；因为D1CA1B，所以异面直线A1B与AC所成角即为ACD1.由已知求得AC，AD1CD1，则cos ACD1，故B错误；在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DD1底面ABCD，则DD1AC，又ACBD，BDDD1D，所以AC平面BB1D1D，故C正确；设点B1到平面A1BCD1的距离为h，由VBA1B1D1VB1A1BD1，得1121h，则h.即点B1到平面A1BCD1的距离为，故D正确三、填空题(每小题5分，共10分)7已知三棱锥OABC，OAOB，OBOC
10、，OCOA，且OA1，OB2，OC2，则点A到直线BC的距离为_.【解析】以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意可知A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，所以(1，2，0)，(0，2，2)，|，.所以点A到直线BC的距离d.答案：8如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，若对角线A1C的长是棱长的m倍，则m等于_【解题指南】设棱长为a，由，得()2，推导出a.由此能求出m的值【解析】一个结晶体的形状为平行六面体，以顶点A为端点的三条棱的长度都相等，且它们彼此的夹角都是60.设棱长为a，对角线A1C
11、的长是棱长的m倍，所以()2222|cos 1202|cos 1202cos 60a2a2a2a2a2a22a2，所以a.所以m.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点(1)求EF；(2)求证：EF平面AA1D1D.【解题指南】(1)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出|，即得EF.(2)求出(2，0，2)，由2，得AD1EF，由此能证明EF平面AA1D1D.【解析】(1)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点以D为原点
12、，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题知，E(2，1，0)，F(1，1，1)，所以(1，0，1)，所以|，即EF.(2)由题知A(2，0，0)，D1(0，0，2)，所以(2，0，2)，所以2，故AD1EF，又AD1平面AA1D1D，EF平面AA1D1D，所以EF平面AA1D1D.10已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解析】(1)建立以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示则P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，
13、0)，E，F，设平面PEF的法向量n(x，y，z)，则令x2，则y2，z3，所以n(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)易知ACEF，得AC平面PEF，因为，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.【补偿训练】 如图，已知四棱锥SABCD，SA底面ABCD，DABABC90，AB4，BC3，AS4，E是AB的中点，F在BC上，且BFFC，求点A到平面SEF的距离【解析】以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0，0，0)，E(0，2，0)，F(1，4，0
14、)，S(0，0，4)，(0，0，4)，(0，2，4)，(1，4，4).设平面SEF的一个法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，即(0，2，4)(x，y，z)2y4z0，且(1，4，4)(x，y，z)x4y4z0，在上面的两个方程中，令z1，则可解得x4，y2，所以n(4，2，1)，因此，点A到平面SEF的距离d.1点M是棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中棱AB的中点，2，动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动，且PB1平面DMN，则PC的长度范围为()A， BC2， D【解题指南】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，平面DMN截正方体ABCD
15、A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中MEDN，BE1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH2，在AA1取点G，使AG1，则平面DMEN平面B1FHG，推导出P点的轨迹是线段GH，利用向量法能求出PC的长度范围【解析】选B.以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，平面DMN截正方体ABCDA1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中MEDN，BE1，取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH2，在AA1取点G，使AG1，则平面DMEN平面B1FHG，因为动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动，且PB1平面DMN，所以P点的轨迹是线段GH，G(3，0，
16、1)，H(0，0，2)，C(0，3，0)，B1(3，3，3)(3，0，1)，GB1(0，3，2)，所以点C到线段GH的距离d|2，所以PC的长度的最小值为，GC，HC，所以PC长度的最大值为.所以PC的长度范围为.2如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；(2)当点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，探究PQ的最小值；(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值【解析】因为正方体的棱长为a，所以A(a，a，0)
17、，B(0，0，a)，C(0，a，0)，D(0，a，a)，可得AB的中点为，CD中点为.(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，可得P(a，a，a)，设Q(0，a，m)(0ma)，所以PQa，当且仅当ma时，即Q为CD的中点时，PQ的最小值为a. (2)当P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点时，可得Q，设P(n，n，an)(0na)，PQa，当且仅当na时，即P为AB的中点时，PQ的最小值为a.(3)设P(，a)，Q(0，a，)(0a且0a)，可得PQ，因为20，(a)20，所以2()2(a)2a2a2，当且仅当a0时，等号成立，此时a，所以当且仅当P，Q分别为AB，CD的中点时，PQ的最小值为a.