1、技法篇：4 大思想提前看，渗透整本提时效思想1 函数与方程思想 思想2 数形结合思想 思想3 分类讨论思想 思想4 转化与化归思想 栏目导航 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起
2、到事半功倍的效果，而市面上有些辅导书把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分思想 1 函数与方程思想 函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想.方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.【例 1】(1)设函数 f(x)的导函数为 f(x)，对任意 xR 都有 f(x)f(x)成立，则()【导学号：68334003】A3f(ln
3、2)2f(ln 3)B3f(ln 2)2f(ln 3)C3f(ln 2)2f(ln 3)D3f(ln 2)与 2f(ln 3)的大小不确定(2)(名师押题)直线 ykx2 和椭圆x24y231 在 y 轴左侧部分交于 A，B 两点，直线 l 过点 P(0，2)和线段 AB 的中点 M，则 l 在 x 轴上的截距 a 的取值范围为_(1)C(2)63，0 (1)令 F(x)fxex，则 F(x)fxfxex.因为对xR 都有 f(x)f(x)，所以 F(x)0，即 F(x)在 R 上单调递减又 ln 2ln 3，所以 F(ln 2)F(ln 3)，即fln 2eln 2 fln 3eln 3，所
4、以fln 22fln 33，即 3f(ln 2)2f(ln 3)，故选 C.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线 l 与 x 轴的交点为 N(a,0)由 ykx2，x24y231，得(34k2)x216kx40.因为直线 ykx2 和椭圆x24y231 在 y 轴左侧部分交于 A，B 两点，所以 16k24434k20，x1x2 16k34k20，x1x2434k20，解得 k12.又 M 为线段 AB 的中点，所以x0 x1x22 8k34k2，y0y1y22634k2.由 P(0，2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，所以634k228k34k202
5、a0，所以4a2k3k.又因为 k12，所以 2k3k2 6，当且仅当 k 62 时等号成立，所以4a2 6，则 63 a0.方法指津函数与方程思想在解题中的应用1函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式2数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要3解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论4立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决变式训练 1 将函数
6、ysin4x3 的图象向左平移 m(m0)个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为_.【导学号：68334004】524 把 ysin4x3 的图象上所有的点向左平移 m 个单位长度后，得到 ysin4xm3 sin4x4m3 的图象，而此图象关于 y 轴对称，则 4m3k2(kZ)，解得 m14k524(kZ)又 m0，所以 m 的最小值为524.思想 2 数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用包括以下两个方面：1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观
7、地说明函数的性质.2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.【例 2】已知函数 f(x)|x|，xm，x22mx4m，xm，其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_(3，)作出 f(x)的图象如图所示当 xm 时，x22mx4m(xm)24mm2，要使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 4mm20.又 m0，解得 m3.方法指津数形结合思想在解题中的应用1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式2构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围3构建解析几何模型求最值或
8、范围4构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系变式训练 2(1)(2017绍兴一中高考考前适应性考试)已知方程|ln x|kx1 在(0，e3)上有三个不等的实根，则实数 k 的取值范围是()【导学号：68334005】A.0，2e3 B.3e3，2e2C.2e3，1e2D.2e3，3e2(2)若不等式 4x2logax0 对任意 x0，14 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.1256，1B.1256，1C.0，1256D.0，1256(1)C(2)B(1)令 f(x)kx1，g(x)ln x，而 f(x)kx1 与 g(x)|ln x|的图象在(0,1)上一定有 1 个交点，那
9、么根据题目条件只需 f(x)kx1，g(x)ln x在(1，e3)上有 2 个交点即可，作函数 f(x)kx1，g(x)ln x 的图象如下，设两者相切于点(a，b)，则有k1a，bln a，bka1，解得 k1e2，且对数函数 g(x)ln x 的增长速度越来越慢，直线 f(x)kx1 过定点(0,1)，方程|ln x|kx1 中取 xe3 得 k2e3，则2e3k1e2，故实数 k 的取值范围是2e3，1e2，故选 C.(2)由已知 4x21 时，不成立，当 0a1 时，如图，只需 loga144142 a 14a 1256，又 a1，故 a1256，1.故选 B.思想 3 分类讨论思想分
10、类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.【例 3】(1)设函数 f(x)3x1，x1，2x，x1.则满足 f(f(a)2f(a)的 a 的取值范围是()A.23，1B0,1C.23，D1，)(2)设 F1，F2 为椭圆x29y241 的两个焦点，P 为椭圆上一点已知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|的值为_(1)C(2)2 或72(1)由 f(f(a)2f(a)
11、得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a1，都有 f(xt)3ex，则 m 的最大值为_解题指导(1)利用抛物线的定义把|PF|PA|的最值问题等价转化成直线 PA 的斜率问题(2)f(xt)3ex xt0ex tex 两边取对数t1ln xx令hx1ln xxh(x)min1.(1)B(2)3(1)如图，作 PHl 于 H，由抛物线的定义可知，|PH|PF|，从而|PF|PA|的最小值等价于|PH|PA|的最小值，等价于PAH 最小，等价于PAF 最大，即直线 PA 的斜率最大此时直线 PA 与抛物线 y24x 相切，由直线与抛物线的关系可知PAF45，所以|PF|PA|P
12、H|PA|sin 45 22.(2)因为当 t1，)且 x1，m时，xt0，所以 f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数 t1，)，使得不等式 t1ln xx 对任意 x1，m恒成立令 h(x)1ln xx(x1)因为 h(x)1x10，所以函数 h(x)在1，)上为减函数又 x1，m，所以 h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对 x1，m，t 值恒存在，只需 1ln mm1.因为 h(3)ln 32ln1e3e ln 1e1，h(4)ln 43ln1e4e2 ln 1e1，且函数 h(x)在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数 m 的值为 3.
13、方法指津转化与化归思想在解题中的应用1在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等2换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法3在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化4在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解5在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函
14、数 f(x)构成的方程变式训练 4(1)(2017金华十校高考模拟考试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知B30，ABC 的面积为32.且 sin Asin C2sin B，则 b 的值为()A42 3B42 3C.31D.31(2)若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是_(1)D(2)373，5 (1)在ABC 中，由 sinAsin C2sin B 结合正弦定理得 ac2b，ABC 的面积为12acsin B12ac1232，解得 ac6，则在ABC 中，由余弦定理得 b2a2c22ac
15、cos B(ac)22ac 3ac(2b)2(2 3)6，解得 b 31，故选 D.(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒成立，或g(x)0 在(t,3)上恒成立由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，所以 m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，则 m4239，即 m373.所以若函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数，则 m 的取值范围为373 m5.课后对应完成技法强化训练(一)(四)(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分学生学完“第一部分重点强化专题”后再做此部分训练)