1、第三章 导数及其应用第 2 课时 利用导数研究函数的最值第三章 导数及其应用 1.了解函数的最值与极值的区别和联系 2.理解函数最值的概念 3掌握在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值的求法栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1函数 f(x)在闭区间a，b上的最值如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲 线，则该函数在 a，b上一定能够取得 _和_，若函数在(a，b)是可导的，该函数的最值必在_或_处取得最大值最小值极值点区间端点栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用2求可导函数 yf(x)在a，b上
2、的最大(小)值的步骤(1)求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点(2)计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为_，最小的一个为_最大值最小值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定是函数的最大值()(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数 f(x)1x在区间1，0)(0，1上有最值()栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用2函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A无最值 B有极值C有最大值D有最小值答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提
3、升预习案自主学习第三章 导数及其应用3函数 f(x)3x4x3(x0，1)的最大值是()A1 B.12C0 D1答案：A4函数ysin xx在区间0，2上的最小值为_答案：2栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 求函数的最值 求下列函数的最值：(1)f(x)sin xx(2x2)；(2)f(x)4x33x236x5，x2，)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用【解】(1)f(x)cos x1，令 f(x)0，得 x0，所以 f(0)000，f(2)12，f(2)12，所以 f(x)max21，f(x)min12.(2)f(x)
4、12x26x36，令 f(x)0，得 x12，x232，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用x2(2，32)32(32，)f(x)00 f(x)57 1154 由于当 x32时，f(x)0，所以 f(x)在(32，)上为增函数，因此，函数 f(x)在2，)上只有最小值1154，无最大值 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数的导数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的全部实根 x0，且 x0a，b；(3)求最值，有两种方式：
5、判断各分区间上的单调性，然后求出最值；将 f(x0)的值与 f(a)，f(b)比较，确定 f(x)的最大值与最小值 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 已知函数 f(x)2x33x212x3.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在3，3上的最值解：(1)f(x)6(x2)(x1)，由 f(x)0，得 x1，由 f(x)0 得2x0)，x1，2的最大值为 3，最小值为29，求 a、b 的值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用【解】f(x)3ax212ax3a(x24x)令 f(x)0，得 x0 或 x4，因为 x1
6、，2，所以 x0.因为 a0，所以 f(x)，f(x)随 x 变化情况如下表：x(1，0)0(0，2)f(x)0 f(x)最大值 3 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用所以当 x0 时，f(x)取最大值，所以 b3.又 f(2)8a24a316a3，f(1)7a3f(2)，所以当 x2 时，f(x)取最小值，16a329，所以 a2，所以 a2，b3.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其
7、他性质 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用 若 a0，函数 yxax在(0，)内的最小值为 4，则 a_解析：y1 ax2.当 x a时，y1 ax20；当 0 x a时，y1 ax20 时，f(x)2 恒成立，求实数 a 的取值范围栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解：由 f(x)ax22ln x 得 f(x)2（x2a）x3，又函数 f(x)的定义域为(0，)，且 a0，令 f(x)0，得 x a(舍去)或 x a.当 0 x a时，f(x)a时，f(x)0，故 x a是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，且 f(
8、a)ln a1.要使 f(x)2 恒成立，需 ln a12 恒成立，即ae.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用2函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值最多只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端
9、点必定是极值栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用将极大值误认为是最大值、极小值误认为是最小值，不与端点值作比较，是常犯的错误栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用1函数 yf(x)在a，b上()A极大值一定比极小值大B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值D最大值一定大于极小值解析：选D.由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值 栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用2函数 f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有
10、最小值D既无最大值，也无最小值解析：选 D.f(x)3x233(x1)(x1)，当 x(1，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(1，1)上是单调递减函数，故在开区间(1，1)内无最大值和最小值，故选 D.栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用3函数 y4x2(x2)在x2，2上的最小值为_，最大值为_解析：由 y12x216x0，得 x0 或 x43.当 x0 时，y0；当 x43时，y12827；当 x2 时，y64；当 x2 时，y0.比较可知 ymax0，ymin64.答案：64 0栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用4设函数 f(x)ax33x1(xR)，若对于任意 x(0，1，都有 f(x)0 成立，则实数 a 的取值范围为_栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用解析：因为 ax33x10 恒成立，且 x(0，1，所以 a3x1x3，转化为求 y3x1x3在(0，1的最大值，由 y3x3（3x1）3x2x60，解得 x12.易知 x12时取最大值 4，所以 a4.答案：4，)栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用栏目导引探究案讲练互动应用案巩固提升预习案自主学习第三章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放