1、常考问题18二项式定理及数学归纳法(建议用时：80分钟)1求证：122225n1能被31整除证明1225n132n1(311)n131nC31n1C31C131nC31n1C3131(31n1C31n2C)，31n1，C31n2，C都是整数，原式可被31整除2已知n的展开式的二项式系数之和比(ab)2n的展开式的系数之和小240，求n的展开式中系数最大的项解由题意，得2n22n240，22n2n2400，即(2n16)(2n15)0.又2n150，2n160.n4.n4.又4的展开式中二项式系数最大的项为第3项，所以，所求4展开式中系数最大的项为第3项，即T3C()226.3已知(1x)na0
2、a1(x1)a2(x1)2an(x1)n(nN*)(1)求a0及Sna1a2a3an；(2)试比较Sn与(n2)2n2n2的大小，并说明理由解(1)取x1，则a02n；取x2，则a0a1a2a3an3n，所以Sna1a2a3an3n2n.(2)要比较Sn与(n2)2n2n2的大小，即比较：3n与(n1)2n2n2的大小当n1时，3n(n1)2n2n2；当n2,3时，3n(n1)2n2n2；当n4,5时，3n(n1)2n2n2.猜想：当n4时，3n(n1)2n2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n4时结论成立假设当nk(k4)时结论成立，即3k(k1)2k2k2，两边同乘以3，得3k1
3、3(k1)2k2k2k2k12(k1)2(k3)2k4k24k2而(k3)2k4k24k2(k3)2k4(k2k2)6(k3)2k4(k2)(k1)60.所以3k1(k1)12k12(k1)2.即nk1时结论也成立所以当n4时，3n(n1)2n2n2成立综上得，当n1时，Sn(n2)2n2n2；当n2,3时，Sn(n2)2n2n2；当n4，nN*时，Sn(n2)2n2n2.4(2013泰州模拟)已知多项式f(n)n5n4n3n.(1)求f(1)及f(2)的值；(2)试探求对一切整数n，f(n)是否一定是整数？并证明你的结论解(1)f(1)0，f(2)17(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n
4、，f(n)是整数当n1时，f(1)1，结论成立假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即f(k)k5k4k3k是整数，则当nk1时，f(k1)(k1)5(k1)4(k1)3(k1)(k1)f(k)k44k36k24k1.根据假设f(k)是整数，而k44k36k24k1显然是整数f(k1)是整数，从而当nk1时，结论也成立由、可知对一切正整数n，f(n)是整数()当n0时，f(0)0是整数()当n为负整数时，令nm，则m是正整数，由()知f(m)是整数，所以f(n)f(m)(m)5(m)4(m)3(m)m5m4m3mf(m)m4是整数综上，对一切整数n，f(n)一定是整数5如图，P1(x1，y1)
5、，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线C：y23x(y0)上的n个点，点Ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x轴的正半轴上，且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式解(1)a12，a26，a312；(2)依题意，得xn，yn，由此及y3xn得2(an1an)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nN*)下面用数学归纳法予以证明：(1)当n1时，命题显然成立；(2)假定当nk时命题成立，即有akk(k1)，则当nk1时，由归纳假设及(ak1ak
6、)22(akak1)得ak1k(k1)22k(k1)ak1，即(ak1)22(k2k1)ak1k(k1)(k1)(k2)0，解之得ak1(k1)(k2)(ak1k(k1)ak不合题意，舍去)，即当nk1时，命题也成立所以ann(n1)(nN*)6(2013苏州调研)对于定义域为A的函数f(x)，如果任意的x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)是A上的严格增函数；函数f(k)是定义在N*上，函数值也在N*中的严格增函数，并且满足条件f(f(k)3k.(1)证明：f(3k)3f(k)；(2)求f(3k1)(kN*)的值；(3)是否存在p个连续的自然数，使得它们的函数
7、值依次也是连续的自然数；若存在，找出所有的p值，若不存在，请说明理由解(1)证明：对kN*，f(f(k)3k，ff(f(k)f(3k)由已知f(f(k)3k，ff(f(k)3f(k)，由、f(3k)3f(k)(2)若f(1)1，由已知f(f(k)3k得f(1)3，矛盾；设f(1)a1，f(f(1)f(a)3，由f(k)严格递增，即1af(1)f(a)3，f(1)2，由f(f(1)f(a)3，故f(f(1)f(2)3.f(1)2，f(2)3.f(3)3f(1)6，f(6)f(32)3f(2)9，f(9)3f(3)18，f(18)3f(6)27，f(27)3f(9)54，f(54)3f(18)81.依此类推归纳猜出：f(3k1)23k1(kN*)下面用数学归纳法证明：(1)当k1时，显然成立；(2)假设当kl(l1)时成立，即f(3l1)23l1，那么当kl1时，f(3l)f(33l1)3f(3l1)323l123l.猜想成立，由(1)、(2)所证可知，对kN*f(3k1)23k1成立(3)存在p3k11，当p个连续自然数从3k123k1时，函数值正好也是p个连续自然数从f(3k1)23k1f(23k1)3k.