1、22几种常见的平面变换22.12.2.2恒等变换伸压变换1恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E)，所实施的对应的变换称作恒等变换2伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵，这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换说明(1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例(2)将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是(k0)，沿y轴方向的伸压变换
2、对应的矩阵形式是(k0)求点在变换作用下的象例1在直角坐标系xOy内矩阵对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点P(4，3)在这个变换作用下的象P.思路点拨根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P在此变换下的象精解详析由 得对应的坐标变换公式为，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍；当x4，y3时，x2，y6，故点P在这个变换下的象为P(2，6)把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)1已知矩阵M，求出点A(3，)在矩阵M对应变换作用下的象A.解： A(9，)2研究直
3、角坐标平面内正方形OBCD在矩阵M对应的变换作用下得到的几何图形，其中O(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)解：矩阵M为恒等变换矩阵，O、B、C、D在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，仍然是正方形OBCD.求曲线在变换作用下的象例2在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2y21在矩阵A对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程思路点拨求曲线F的方程即求F上的任意一点的坐标(x，y)满足的关系式精解详析设P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，点P(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为P(x，y)，则有 ，即所以
4、又因为点P(x0，y0)在椭圆上，所以4xy1，从而有xy1，所以曲线F的方程是x2y21.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P(x0、y0)与P(x，y)的关系找出，再利用已知曲线的方程即可得到所求的方程3求圆C：x2y24在矩阵A对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹解：设P(x，y)是圆C：x2y24上的任意一点，而P1(x，y)是P(x，y)在矩阵A对应的伸压变换下的曲线上的对应点，则 ，即所以代入x2y24得y24，所以方程1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆4已知圆C：x2y21在矩阵A(a0，b0)对应的变换下变为椭圆x21，求a，b的值解：设P(x0，y0)为
5、圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为点P(x，y)，则 ，所以又因为点P(x0，y0)在圆x2y21上，所以xy1，所以1，即圆C在矩阵A对应的变换下的象为1.由已知条件可知，变换后的椭圆方程为x21，所以a21，b24，又因为a0，b0，所以a1，b2.5已知矩阵M1，M2，研究圆x2y21先在矩阵M1对应的变换作用下，再在矩阵M2对应的变换作用下，所得的曲线的方程解：设P0(x0，y0)为圆上的任意一点，在M1的作用下变为P1(x1，y1)，P1在M2的作用下变为P2(x2，y2)，即 ， .即P0在圆x2y21上，xy1.x4y1，故所求曲线的方程为4y21.1求圆x2y29在矩阵
6、M对应的变换作用后所得图形的面积解：矩阵M所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x2y29变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9.2已知点(x，y)在矩阵对应的变换作用下变为点(1,3)，试求x，y的值解：由 ，得解得3在平面直角坐标系中，已知线性变换对应的二阶矩阵为.求：(1)点A(，3)在该变换作用下的象；(2)圆x2y21上任意一点P(x0，y0)在该变换作用下的象解：(1)由 ，得点A(，3)在该变换作用下的象为(，)；(2)由 ，得点P(x0，y0)在变换作用下的象为(x0，)4求出如图所示的图形在矩阵M对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A(1,0)，B(2,
7、0)，C(2,1)，D(3,1)，E(3,2)，F(0,2)，G(0,1)，H(1,1)解：M对应的是沿y轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍在此变换下，AA(1,0)，BB(2,0)，CC(2,1.5)，DD(3，1.5)，EE(3,3)，FF(0,3)，GG(0,1.5)，HH(1,1.5)变换后的图形如图所示5求椭圆C：1先在矩阵M对应的变换，再在矩阵N对应的变换作用下得到的曲线C的方程解：因为矩阵M对应的变换是恒等变换，所以曲线C是椭圆C：1在矩阵N对应变换下得到的曲线，设椭圆C上任意一点P(x，y)在矩阵N对应的变换下得到曲线C上的点P(x，y)，则有 ，即所以因
8、为1，所以1，即y21.故曲线C的方程为y21.6.如图，一个含有60角的菱形ABCD，试求变换矩阵M，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形试问该变换矩阵唯一吗？若不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一由题设知，ACBD1，若只变换A，C两点，则必须将A，C的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M.若只变换B，D两点，则应把B，D的纵坐标伸长到原来的倍，于是变换矩阵M，所以满足条件的所有变换矩阵为或.7求出梯形OABC先在矩阵M对应的变换作用下，再在矩阵N对应的变换作用下的图形，其中O(0,0)，A(2,0)，B(1,1)，C(0,1)解：矩阵M对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍而矩阵N对应的是沿x轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的倍，也就是说梯形OABC先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变8设M，N，试求曲线C：ysin x在矩阵M、N对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程解：设P0(x0，y0)为曲线C上的任意一点，在TM的作用下变为P1(x1，y1)，P1在TN的作用下变为P2(x2，y2)，即 ， .P0在曲线C上，y0sin x0.y2sin 2x2，即y22sin 2x2.所求曲线的方程为y2sin 2x.