1、第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(ab)2a22abb2，试用多项式的乘法推导(ab)3，(ab)4的展开式提示：(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(ab)4是如何展开的吗？提示：因(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)由多项式乘法法则知，从四个ab中选a或选b是任意的若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C种，式子为Ca3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C种，式子为Ca2b2.问题4：能用类比方法写出(ab)
2、n(nN*)的展开式吗？提示：能，(ab)nCanCan1bCbn.1二项式定理公式(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，它一共有n1项2二项展开式的通项Canrbr叫做二项展开式的第r1项(也称通项)，用Tr1表示，即Tr1Canrbr3二项式系数C(r0，1，2，n)叫做第r1项的二项式系数1(ab)n中，nN*，a，b为任意实数2二项展开式中各项之间用“”连接3二项式系数依次为组合数C，C，C，C.4(ab)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，
3、从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.例1求下列各式的展开式：(1)(a2b)4；(2).思路点拨可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开精解详析(1)根据二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，得(a2b)4Ca4Ca32bCa2(2b)2Ca(2b)3C(2b)4a48a3b24a2b232ab316b4.(2)法一：C(2x)5C(2x)4C(2x)3C(2x)2C(2x)C32x5120x2.法二：C(4x3)5C(4x3)4(3)C(4x3)(3)4C(3)5(1 024x153 840x125 760x94 320x61 620x3243)32x512
4、0x2.一点通形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂含负号的二项展开式形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况1写出(12x)4的展开式解：(12x)4C14(2x)0C13(2x)1C12(2x)2C11(2x)3C10(2x)418x24x232x316x4.2求的展开式解：法一：CCC()2CCx22x.法二：(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.例2已知二项式.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项思路点拨(1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式Tr1Canrbr，设第r1项为
5、常数项，令x的指数等于0即可求出r.精解详析(1)的展开式的第5项为T5C(x2)6C x12x10.(2)设第r1项为常数项，则Tr1C(x2)10rCx20r(r0，1，2，10)，令20r0，得r8，所以T9C，即第9项为常数项，其值为.一点通(1)二项展开式的通项Tr1Canrbr表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定对于一个具体的二项式，通项Tr1依赖于r，公式中的二项式的第一个量a与第二个量b的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n.(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型常见的有求二项展开式中的第r项、常数项、含某
6、字母的r次方的项等其通常解法就是根据通项公式确定Tr1中r的值或取值范围以满足题设的条件3(x2y)6 展开式中的第4项为_解析：由二项展开式的通项得，(x2y)6展开式中的第4项为Cx63(2y)3160x3y3.答案：160x3y34二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为_解析：二项展开式的通项是Tr1Cx3n3rx2rCx3n5r，令3n5r0，得n(r0，1，2，n)，故当r3时，n有最小值5.答案：55求的展开式中的有理项解：的展开式的通项为Tr1C()8rCx(r0，1，2，8)，为使Tr1为有理项，r必须是4的倍数，所以r0，4，8，故共有3个有理项，分别是T1Cx
7、4x4，T5Cxx，T9Cx2.例3已知二项式.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数思路点拨利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数精解详析的二项展开式的通项是Tr1C(r0，1，10)(1)第4项的二项式系数为C120.(2)第4项的系数为C3777 760.一点通要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关6(x1)(x1)2(x1)3(x1)4(x1)5的展开式中，x2的系数等于_解析：x2的系数是四个二项展开式中4个含x2的系数和，
8、则有C(1)0C(1)1C(1)2C(1)3(CCCC)20.答案：207在二项式(1x2)20的展开式中，第4r项和第r2项的二项式系数相等，则r_解析：第4r项与第r2项的二项式系数分别为C和C，由题设得CC.由组合数性质得4r1r1或4r120(r1)4r1r1没有整数解由4r120(r1)，得r4.答案：48求的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数解：通项公式为Tr1C(2x2)9r29rCx183r，故第3项的二项式系数为C36，第4项的系数为 26C5 376.1求二项展开式特定项的一般步骤2求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：
9、求第r项；求含xr(或xpyq)的项；求常数项；求有理项其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误3二项式系数与项的系数的区别二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负课下能力提升(八)一、填空题1(a2b)10展开式中第3项的二项式系数为_解析：第3项的二项式系数为C45.答案：452(四川高考改编)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为_解析：
10、只需求(1x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C15.答案：153二项式的展开式中的常数项为_解析：Tr1C(1)rx155r，令155r0，r3.故展开式中的常数项为C(1)310.答案：104若(x1)nxnax3bx2nx1(nN*)，且ab31，那么n_解析：aC，bC，又ab31，即3，解得n11.答案：115.的展开式中有理项共有_项(用数作答)解析：由Tr1C(x2)9rCx183r, 依题意需使183r为整数，故183r0，r6，即r0，1，2，3，4，5，6共7项答案：7二、解答题6求的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：T4C(2y
11、3)3Cx2(2)3y9280x2y9，第四项的二项式系数为C35，第四项的系数为280.7若展开式的常数项为60，则常数a的值解：二项式展开式的通项公式是Tr1Cx6rx2rCx63r.当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知Ca60，解得a4.8已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数解：展开式的通项公式为Tr1CCx.由题意知，C，C，C成等差数列，则CCC，即n29n80，解得n8或n1(舍去)Tr1Cx4r.令4r1，得r3.含x项的系数为C7，二项式系数为C56.第2课时二项式系数的性质及应用(ab)n的展开式的二次式系数，当n取正整数时
12、可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，其系数和为2n.问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n2，4，6时，中间一项最大，n3，5时中间两项最大二项式系数的性质一般地，(ab)n展开式的二项式系数C，C，C有如下性质：(1)CC；(2)CCC；(3)当r时，CC；当r时，CC；(4)CCCC2n1与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等2当n为偶数时，二
13、项式系数中，以Cn最大；当n为奇数时，二项式系数中以Cn和Cn(两者相等)最大3二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等例1已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.思路点拨根据展开式的特点，对x合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解精解详析令x1，则a0a1a2a71令x1，则a0a1a2a737(1)令x0，则a01，a1a2a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)|a0|a1|a2|a7|a0a1
14、a2a3a7372 187.一点通(1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为f(1)f(1)，偶次项系数和为f(1)f(1)1设(2x1)6a6x6a5x5a1xa0，则|a0|a1|a2|a6|_解析：Tr1C(2x)6r(1)r(1)r26rCx6r，ar(1)r26rC.|a0|a1|a2|a6|a0a1a2a3a4a5a62(1)1636.答案：362二项式的展开式中各项系数的和为_解析：依题意得，该二项展开式中的各
15、项系数的和为0.答案：03已知(2x1)5a0x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.(1)求a0a1a2a5；(2)求|a0|a1|a2|a5|；(3)求a1a3a5.解：(1)令x1，则a0a1a2a3a4a51.(2)令x1，则a0a1a2a3a4a5243.|a0|a1|a2|a3|a4|a5|a0a1a2a3a4a5(a0a1a2a3a4a5)，|a0|a1|a2|a3|a4|a5|243.(3)a1a3a5121.例2(12x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项思路点拨求(abx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式
16、中的系数分别为A1，A2，An1，再设第r1项系数最大，由不等式组确定r的值精解详析T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有，解得5r6.r5或r6.系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.一点通(1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二
17、者才一致(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得4已知(ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n_解析：(ab)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，二项展开式共有9项，即n19，n8.答案：85在二项式的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且AB72，则展开式中常数项的值为_解析：令x1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n2n72，解得n3.所以二项展开式的通项Tr1C3rCxr，显然当r1时，Tr1是常数项，值为3C9.
18、答案：96在的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项解：(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第r1项系数最大，则Tr1C(3x2)r3rCx，r，r4.即展开式中第5项系数最大，T5C(x)(3x2)4405x.例3求证：2n23n5n4(nN*)能被25整除思路点拨将2n23n5n446n5n4转化为25的倍数即可证明精解详析原式46n5n44(51)n5n44(C5nC5n1C5n2C)5n44(C5nC5n1C52C51)4C5n44(C5nC5n1C52)
19、20n45n44(C5nC5n1C52)25n.以上各项均为25的整数倍，故2n23n5n4能被25整除一点通利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数7求证：51511能被7整除证明：51511(492)511C4951C49502C49250C2511.易知除C2511以外各项都能被7整除又2511(23)171(71)171C717C716C7C17(C716C715C)显然能被7整除，所以
20、51511能被7整除8求证：对任何非负整数n，33n26n1可被676整除证明：当n0时，原式0，可被676整除当n1时，原式0，也可被676整除当n2时，原式27n26n1(261)n26n1(26nC26n1C262C261)26n126nC26n1C262.每一项都含262这个因数，故可被262676整除综上所述，对一切非负整数n，33n26n1可被676整除1用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般对字母赋的值为1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握2二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根
21、据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r1项的系数Tr1最大，则满足不等式由不等式组解出r的值3余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路课下能力提升(九)一、填空题1已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_解析：由题设，得CC2C，即n29n80，
22、解得n8或n1(不合题意，舍去)，则的展开式的通项为Tr1Cx8r，令r14，得r3，则第四项为T4Cx57x5.答案：7x52若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为_解析：令x1，2n64n6.由Tr1C36rx(1)rx(1)rC36rx3r，令3r0r3. 所以常数项为C332027540.答案：5403若展开式中只有第6项的系数最大，则n_.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n10.答案：104已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8_解析：(1x)102(1x)10其通项公式为：Tr1C210r(1)
23、r(1x)r，a8是r8时，第9项的系数所以a8C22(1)8180.答案：1805若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，则a0a1a2(1)nan_解析：由CC，得3n1n6(无整数解，舍去)或3n123(n6)，解得n4，问题即转化为求(3x)4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3x)4中令x1，即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案：256二、解答题6二项式(2x3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和解：设(2x3y)9a0x9a1x8ya2x7y2a9y9.(1)二项式系数之和为CCCC29.(2)各项
24、系数之和为a0a1a2a9，令x1，y1，得a0a1a2a9(23)91.(3)由(2)知a0a1a2a91，令x1，y1，得a0a1a2a959，将两式相加，得a0a2a4a6a8，此即为所有奇数项系数之和7求(1x)8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项解：(1)因为(1x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大该项为T5C(x)470x4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T4C(x)356x3，T6C(x)556x5.8求证：32n28n9能被64整除证明：32n28n99n18n9(18)n18n9CC8C82C83C8nC8n18n91(n1)8C82C83C8n8n18n9C82C83C8n8n182(CC8C8n28n1)，又CC8C8n28n1是整数，32n28n9能被64整除.