1、第1课时空间图形基本关系的认识与公理13核心必知1空间图形的基本位置关系点2空间图形的3条公理文字语言图形语言符号语言公理1过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)若A、B、C三点不共线，则存在唯一一个平面使A，B，C续表文字语言图形语言符号语言公理2如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)若Al，Bl，且A，B，则公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若A，A，且与不重合，则l，且Al问题思考1三点确定一个平面吗？提示：当三点在一条直线上时，不能确定一个平面，当三点不在同一条直线上时，确定一个平面2
2、三条两两相交的直线，可以确定几个平面？提示：若三条直线两两相交于一点时，则可以确定一个或三个平面；若相交于三个交点时，则可以确定一个平面讲一讲1如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交求证：a，b，c三线共面尝试解答证明：bc，直线b与c确定一个平面.如图，令abA，acB，A，B，AB.即a，a，b，c三线共面证明点线共面的常用方法：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合练一练1已知abc，laA，lbB，lcC，求证：直线a，b，c和l共面证明：ab，直线a与b确定一个平面，设为，如图
3、laA，lbB，Aa，Bb，则A，B.而Al，Bl，由公理2可知：l.bc，直线b与c确定一个平面，设为，同理可知l.平面和平面都包含直线b与l，且lbB，又经过两条相交直线，有且只有一个平面，平面与平面重合，直线a，b，c和l共面.讲一讲2. 已知ABC在平面外，它的三边所在的直线分别交平面于P，Q，R(如图)，求证：P，Q，R三点共线尝试解答证明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，点P在平面ABC与平面的交线上同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上，P，Q，R三点共线法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面AP
4、R平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.又Q直线BC，Q平面APR.又Q，QPR.P，Q，R三点共线证明点共线问题的常用方法有：法一是首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另外的点在其上练一练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线证明：D1平面ABC1D1，D1平面A1D1CB，B平面ABC1D1，B平面A1D1CB，平面ABC1D1平面A1D1CBBD1.A1C平面ABC1D1Q，且A1C在平面A1D1CB内，Q平面A1D
5、1CB，Q平面ABC1D1，Q在两平面的交线BD1上，B，Q，D1三点共线.讲一讲3已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行求证：l1，l2，l3相交于一点尝试解答证明：如图，l1，l2，l3.l1，l2，且l1，l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3，l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点常用的方法是先说明其中两条直线共面且相交于一点，然后说明这个点在两个平面上，并且这两个平面相交(交线是第三条直线)，于是得到交线也过此点，从而得到三线共点练一练3已知在正方体ABCDABCD中，如图，E，F分别为AA，AB上的点(E，F不与A，
6、B重合)且EFCD，求证：CF，DE，DA三线共点于P.证明：由EFCD知E，F，C，D四点共面因为E，F不与A，B重合，所以EFCD，即四边形EFCD为梯形设DECFP，DE平面AADD，PDE，P平面AADD.又CF平面ABCD，PFC，P平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AADD的公共点又平面ABCD平面AADDAD，PAD，即CF，DE，DA三线共点于P.已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解A，B，C，D共面，点A在点B，C，D所确定的平面内点B，C，D，E四点共面，点E也在点B，C，D所确定的平面内，
7、点A，E都在点B，C，D所确定的平面内，即点A，B，C，D，E一定共面错因在证明共面问题时，必须注意平面是确定的上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线，因而出错也即题知条件由B，C，D三点不一定确定平面，因此就使得五点的共面失去了基础正解A，B，C，D，E五点不一定共面(1)当B，C，D三点不共线时，由公理可知B，C，D三点确定一个平面，由题设知A，E，故A，B，C，D，E五点共面于；(2)当B，C，D三点共线时，设共线于l，若Al，El，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E有且只有一点在l上，则A，B，C，D，E五点共面；若A，E都不在l
8、上，则A，B，C，D，E五点可能不共面综上所述，在题设条件下，A，B，C，D，E五点不一定共面1下列图形中不一定是平面图形的是()A三角形 B菱形C梯形 D四边相等的四边形解析：选D四边相等不具有共面的条件，这样的四边形可以是空间四边形2(重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：选A如图所示的四面体ABCD中，设ABa，则由题意可得CD，其他边的长都为1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形，显然a0.取CD中点E，连接AE，BE，则AECD，BECD且A
9、EBE ，显然A、B、E三点能构成三角形，应满足任意两边之和大于第三边，可得2a，解得0a.3下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若M，M，l，则Ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内A1B2 C3D4解析：选A两个平面有三个公共点时，两平面相交或重合，错；两条直线异面时不能确定一个平面，错；空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内，错只有对4 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与D
10、1C的位置关系是_；(4)直线AB与B1C的位置关系是_答案：(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面5若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是_解析：两条直线a，c都与同一条直线b是异面直线，则这两条直线平行、相交或异面都有可能答案：平行、相交或异面6证明：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面证明：设这两两相交且不共点的三条直线分别为l1，l2，l3，且l1l2A，l2l3B，l1l3C(如图所示)l1与l2相交，l1与l2确定一平面.Bl2，Cl1，B，C，又Bl3，Cl3，l3，即两两相交且不共点的三条直线确定一个平面一、选择题1如果空间四点A，B，C，D不共
11、面，那么下列判断中正确的是()AA，B，C，D四点中必有三点共线BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行解析：选B若A，B，C，D四点中有三点共线，则A，B，C，D四点共面，若AB与CD相交(或平行)，则AB与CD共面，即得A，B，C，D四点共面2若点A在直线b上，b在平面内，则A，b，之间的关系可以记作()AAb，b BAb，bCAb，b DAb，b解析：选B点A在直线b上，Ab，又直线b在平面内，b，Ab，b.3如图，平面平面l，点A，点B，且点C，点Cl.又ABlR，设A，B，C三点确定的平面为，则是()A直线AC B直线BCC直线CR D直线AR解析
12、：选CC平面ABC，AB平面ABC，而RAB，R平面ABC.而C，l，Rl，R，点C，点R为两平面ABC与的公共点，CR.4平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A3 B4 C5 D6解析：选C与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条5在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则()AM一定在直线AC上BM一定在直线BD上CM可能在AC上，也可能在BD上DM不在AC上，也不在BD上解析：选A因为E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，EF与
13、HG交于点M，所以点M为平面ABC与平面ACD的公共点，而两个平面的交线为AC，所以M一定在直线AC上二、填空题6空间四点A，B，C，D，其中任何三点都不在同一直线上，它们一共可以确定平面的个数为_解析：四点共面时，确定1个平面，任何三点不共线，四点不共面时，确定4个平面答案：1或47 如图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BM是异面直线；CN与BE是异面直线；DN与BM是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：观察图形可知错误，正确答案：8有下面几个说法：如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边
14、形是平行四边形；四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；点A在平面外，点A和平面内的任意一条直线都不共面其中正确的序号是_(把你认为正确的序号都填上)解析：中线段可与平面相交；中的四边形可以是空间四边形；中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；中三边在同一平面内，可推知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；中点A与内的任意直线都能确定一个平面答案：三、解答题9如图所示，ABP，CDP，A，D与B，C分别在平面的两侧，ACQ，BDR.求证：P，Q，R三点共线证明：ABP，CDP，ABCDP.AB，CD可确定一个平面，设为.AAB，CCD，BAB，DCD，A，
15、C，B，D.AC，BD，平面，相交ABP，ACQ，BDR，P，Q，R三点是平面与平面的公共点P，Q，R都在与的交线上，故P，Q，R三点共线10已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线求证：a，b，c，d共面证明：无三线共点情况，如图所示，设adM，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a，d可确定一个平面.Nd，Qa，N，Q.NQ，即b.同理c.a，b，c，d共面有三线共点的情况，如图所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M，且Ka，Ka，K与a确定一个平面，设为.Na，a，N.NK，即b.同理，c，d.a，b，c，d共面第2课时空间图形的公理4及等角定理核心
16、必知1公理4平行于同一条直线的两条直线平行2定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫做空间四边形4异面直线所成的角(1)过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角(2)当异面直线a与b所成的角为直角时，a与b互相垂直问题思考1公理4及等角定理的作用是什么？提示：公理4又叫平行线的传递性作用主要是证明两条直线平行等角定理的主要作用是证明空间两个角相等2两条互相垂直的直线一定相交吗？提示：不一定只要两直线所成的角是90，这两直线就垂直
17、，因此，两直线也可能异面讲一讲1. 如图所示，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别为线段A1B，B1D1，A1B1上的点，若，且PNA1D1.求证：PMAA1.尝试解答证明：PNA1D1，得，又，PMBB1.而BB1AA1，PMAA1.空间中证明两直线平行的方法：(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行练一练1梯形ABCD中，ABCD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD与CD的位置重合，G，H分别为AD和BC的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形证明
18、：在梯形ABCD中，EFAB且EF(ABCD)在梯形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，GHAB且GH(ABCD)又CDCD，EFGH，四边形EFGH为平行四边形.讲一讲2.如图所示，已知E，E1分别是正方体AC1的棱AD，A1D1的中点，求证：C1E1B1CEB.尝试解答证明：连接EE1，E，E1分别是AD，A1D1的中点，A1E1AE，四边形A1E1EA为平行四边形，A1AE1E.又A1AB1B，由基本性质4知B1BE1E，四边形E1EBB1为平行四边形，E1B1EB.同理E1C1EC.又C1E1B1与CEB的对应边方向相同，C1E1B1CEB.1证明两角相等的方法等角定理；三角形全
19、等；三角形相似2利用等角定理证明两角相等，关键是证明角的两边分别平行，另外要注意角的方向性练一练2 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点求证：(1)EFE1F1；(2)EA1FE1CF1.证明：(1)连接BD，B1D1，在ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.同理，E1F1B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BDB1D1，又EFBD，E1F1B1D1，所以EFE1F1.(2)分别取A1B1、A1D1的中点M、N，连接BM、DN、MF1，在正方体A
20、BCDA1B1C1D1中，由题意，MF1BC，A1MBE，四边形BCF1M，四边形A1EBM是平行四边形，A1EBMCF1.同理可证A1FDNCE1.又A1E、A1F、CF1、CE1，分别为EA1F、E1CF1的对应两边，且方向相反，EA1FE1CF1.在空间中有三条线段AB、BC和CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()AABCDBAB与CD是异面直线CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交错解如图，ABCBCD，ABCD.故选A.错因错解的原因在于，认为线段AB，BC，CD在同一个平面内正解构造图形：(1)在同一个平面内ABCBCD(如图(1)；(2) 在
21、同一个平面内ABCBCD(如图(2)；(3)将图(2)中直线CD绕着BC旋转，使ABCBCD.由(1)知ABCD，由(2)知AB与CD相交，由(3)知AB与CD是异面直线答案D1下列结论正确的是()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；平行于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.A BC D解析：选B错，可以异面正确，公理4.错误，和另一条可以异面正确，由平行直线的传递性可知2已知直线a，b，c，下列三个命题：若ab，ac，则bc；若ab，a和c相交，则b和c也相交；若ab，ac，则
22、bc.其中，正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B项正确；项不正确，有可能相交也有可能异面；项不正确可能平行，可能相交也可能异面3一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条()A相交 B异面C相交或异面 D平行解析：选C如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面4如图，夹在两平行平面间的两条线段AB，CD交于点O，已知AO4，BO2，CD9.则线段CO，DO的长分别为_，_.解析：AB，CD相交于O点，AC，BD共面又AC与BD不相交，ACBD.，
23、又DC9，AO4，BO2.CO6，DO3.答案：635已知E，F，G，H为空间中的四个点，且E，F，G，H不共面，则直线EF和GH的位置关系是_解析：假设共面，则E，F，G，H共面，与已知矛盾，EF与GH不共面，即异面答案：异面6 如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且成立求证：A1B1C1ABC.证明：在OAB中，A1B1AB.同理可证A1C1AC，B1C1BC.C1A1B1CAB，A1B1C1ABC.A1B1C1ABC.一、选择题1若直线ab，bcA，则a与c的位置关系是()A异面B相交C平行 D异面或相交解析：选Da与c不可能平行，
24、若ac，又因为ab，所以bc，这与bcA矛盾，而a与c异面、相交都有可能2 如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有()A2对 B3对C4对 D6对解析：选B据异面直线的定义可知共有3对AP与BC，CP与AB，BP与AC.3 如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A3条B4条C5条 D6条解析：选B由于E、F分别是B1O、C1O的中点，故EFB1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD、BC、A1D1，所以共有4条4已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD2，
25、AC4，则EG2HF2的值是()A5 B10 C12 D不能确定解析：选B如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，再根据公理4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，所以EG2HF22(1222)10.5异面直线a，b，有a，b且c，则直线c与a，b的关系是()Ac与a，b都相交Bc与a，b都不相交Cc至多与a，b中的一条相交Dc至少与a，b中的一条相交解析：选D若c与a、b都不相交，c与a在内，ac.又c与b都在内，bc.由基本性质4，可知ab，与已知条件矛盾如图，只有以下三种情况二、填空题6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D
26、1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线，(1)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别平行且方向相反解析：(1)B1D1BD，B1C1BC并且方向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别平行且方向相同；(2)B1D1 BD，D1A1BC且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别平行且方向相反答案：(1)D1B1C1(2)B1D1A17若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则直线a与直线c的位置关系是_解析：如图，可借助长方体理解，令aCC1，bA1B1，则BC，AD，DD1均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、相交或异面答案：
27、平行、相交或异面8 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点有以下四个结论： 直线AM与CC1是相交直线直线AM与BN是平行直线直线BN与MB1是异面直线直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确结论的序号都填上)解析：由异面直线的定义知正确答案：三、解答题9长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点(1)求证：D1EBF；(2)求证：B1BFD1EA1.证明：(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，A1B1C1D1，EMC1D1，四边形EMC1D1为平行四边形，D1EC
28、1M.在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，四边形BFC1M为平行四边形，BFC1M，D1EBF.(2)ED1BF，BB1EA1，又B1BF与D1EA1的对应边方向相同，B1BFD1EA1.10 如图，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且，. (1)当时，求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)当时，求证：四边形EFGH是梯形；三条直线EF，HG，AC交于一点证明：在ABD中，故EHBD.同理FGBD.由公理4得EHFG，又可得FGEH.(1)若，则FGEH，故EFGH是平行四边形(2)若，则EHFG，故EFGH是梯形在平面EFGH中EF、HG不平行，必然相交设EFHGO，则由OEF，EF平面ABC，得O平面ABC.同理有OHG平面ACD.而平面ABC平面ACDAC，所以OAC，即EF、HG、AC交于点O.
