1、1一种作图工具如图1所示O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3.当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动一周(D不动时，N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l与两定直线l1：x2y0和l2：x2y0分别交于P，Q两点若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由解(1)设点D(t,0)，(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依
2、题意，2，且|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，且即且t(t2x0)0.由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0，y0，代入xy1，可得1，即所求的曲线C的方程为1.(2)()当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ448.()当直线l的斜率存在时，设直线l：ykxm，由消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以64k2m24(14k2)(4m216)0，即m216k24.又由可得P；同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d和|PQ|xPxQ|，可得SOPQ|PQ|d|m|xPxQ|m|.将代
3、入得，SOPQ8.当k2时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因0k2b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1F1F2，2，DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.由2得|DF1|c.从而SDF1F2|DF1|F1F2|c2，故c1.从而|DF1|，由DF1F1F2得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|.所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.因此，所求椭圆的
4、标准方程为y21.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆y21相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y0.由椭圆方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在当x1时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1
5、P1F2P2，知CP1CP2.又|CP1|CP2|，故圆C的半径|CP1|P1P2|x1|.3在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2,1)求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点M的轨迹C的方程为y2(2)在点M的轨迹C中，记C1：y24x，C2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.()当k0时，此时y1
6、.把y1代入轨迹C的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹C恰好有一个公共点.()当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.(a)若由解得k.即当k(，1)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点(b)若或由解得k或k0.即当k时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点当k时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点故当k时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点(c)若由解得1k或0kb0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为
7、椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程解(1)由题意知c，e，a3，b2a2c24，故椭圆C的标准方程为1.(2)设两切线为l1，l2，当l1x轴或l1x轴时，对应l2x轴或l2x轴，可知P(3，2)当l1与x轴不垂直且不平行时，x03，设l1的斜率为k，且k0，则l2的斜率为，l1的方程为yy0k(xx0)，与1联立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360，直线l1与椭圆相切，0，即9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，(x9)k22x0y0ky40，k是方程(x9)x22x0y0xy40的一个根，同理，是方程(x9)x22x0y0xy40的另一个根，k，整理得xy13，其中x03，点P的轨迹方程为x2y213(x3)检验P(3，2)满足上式综上，点P的轨迹方程为x2y213.
