1、专题五 平面解析几何突破点 13 圆锥曲线中的综合问题核心知识 聚集 热点题型 探究 专题限时集训 栏目导航(对应学生用书第 47 页)核心知识提炼提炼 1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.提炼 2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的
2、范围)求解(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围(4)利用基本不等式求最值与范围(5)利用函数值域的方法求最值与范围提炼 3与圆锥曲线有关的探索性问题(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在高考真题回访回访 直线与圆锥曲线的综合问题1(2017浙江高考)如图 13-1，已知抛物线 x2y，点 A12，14，B32，94，抛物
3、线上的点 P(x，y)12x32.过点 B 作直线 AP的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围(2)求|PA|PQ|的最大值图 13-1解(1)设直线 AP 的斜率为 k，kx214x12x12，因为12x1)图 13-2(1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)；(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围 解(1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM，由 ykx1，x2a2y21得(1a2k2)x22a2kx0，3 分故 x10，x2 2a2k1a2k2.因此|AM|1k2|x1x2|2a2|k|1a2
4、k2 1k2.5 分(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足|AP|AQ|.7 分记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|2a2|k1|1k211a2k21，|AQ|2a2|k2|1k221a2k22，故2a2|k1|1k211a2k212a2|k2|1k221a2k22，9 分所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220.由于 k1k2，k1，k20 得1k21k22a2(2a2)k21k220，因此1k211 1k221 1a2(a22)因为式关于 k1，k2
5、的方程有解的充要条件是1a2(a22)1，所以 a 2.13 分因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为1a 2.由 eca a21a，得 0e 22.所求离心率的取值范围为 00.将线段 AB 中点 M2mbm22，m2bm22 代入直线方程 ymx12解得 bm222m2.由得 m 63.7 分(2)令 t1m 62，0 0，62，则|AB|t212t42t232t212，且 O 到直线 AB 的距离为 dt212t21.10 分设AOB 的面积为 S(t)，所以S(t)12|AB|d122t21222 22，当且仅当 t212时，等号成立故AOB 面积
6、的最大值为 22.15 分4(2014浙江高考)已知ABP 的三个顶点都在抛物线 C：x24y上，F 为抛物线 C 的焦点，点 M 为 AB 的中点，PF3FM.(1)若|PF|3，求点 M 的坐标；(2)求ABP 面积的最大值图 13-4解(1)由题意知焦点 F(0,1)，准线方程为 y1.2 分设 P(x0，y0)，由抛物线定义知|PF|y01，得到 y02，所以 P(2 2，2)或P(2 2，2)由PF3FM 得 M2 23，23 或 M2 23，23.6 分(2)设直线 AB 的方程为 ykxm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)由ykxm，x24y得 x24kx
7、4m0.8 分于是 16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以 AB 的中点 M 的坐标为(2k,2k2m)由PF3FM，得(x0,1y0)3(2k,2k2m1)，所以x06k，y046k23m.由 x204y0，得 k215m 415.10 分由 0，k20，得13m43.又因为|AB|4 1k2 k2m，点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d|m1|1k2，所以 SABP4SABF8|m1|k2m 16153m35m2m1.记 f(m)3m35m2m113m43，令 f(m)9m210m10，解得 m119，m21.12 分可得 f(m)在13，19 上是增函数，在19，1 上
8、是减函数，在1，43 上是增函数又 f19 256243 f43，所以，当 m19时，f(m)取到最大值256243，此时 k 5515.所以，ABP 面积的最大值为256 5135.15 分(对应学生用书第 49 页)热点题型 1 圆锥曲线中的定值问题题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量.【例 1】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)上一点 P1，32 与椭圆右焦点的连线垂直于 x 轴，直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(均不在坐标轴上)
9、(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，若AOB 的面积为 3，试判断直线 OA 与 OB 的斜率之积是否为定值？【导学号：68334131】解(1)由题意知 1a2 94b21，a2b21，解得a24，b23，3 分 椭圆 C 的标准方程为x24y231.4 分(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x24y231，ykxm，得(4k23)x28kmx4m2120，5 分由(8km)216(4k23)(m23)0，得 m24k23.6 分 x1x28km4k23，x1x24m2124k23，SOAB12|m|x1x2|12|m|4 3 4k23m24k23 3，8
10、 分化简得 4k232m20，满足 0，从而有 4k2m2m23(*)，9 分 kOAkOBy1y2x1x2kx1mkx2mx1x2k2x1x2kmx1x2m2x1x212k23m24m212344k2m2m23，由(*)式，得4k2m2m23 1，12 分 kOAkOB34，即直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值34.15 分方法指津求解定值问题的两大途径1.由特例得出一个值此值一般就是定值 证明定值：将问题转化为证明待证式与参数某些变量无关2先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值变式训练 1 已知椭圆 C：x2a2y2
11、b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆 C 的方程及离心率；(2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值解(1)由题意得 a2，b1，椭圆 C 的方程为x24y21.3 分又 c a2b2 3，离心率 eca 32.5 分(2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204.6 分又 A(2,0)，B(0,1)，直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2)令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1yM1 2y0 x02.9 分直线 PB 的方程
12、为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01，从而|AN|2xN2 x0y01.12 分 四边形 ABNM 的面积 S12|AN|BM|122 x0y01 1 2y0 x02x204y204x0y04x08y042x0y0 x02y022x0y02x04y04x0y0 x02y02 2.从而四边形 ABNM 的面积为定值.15 分热点题型 2 圆锥曲线中的最值、范围问题题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法.【例 2】设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，
13、D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，所以EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA|EB|4.2 分由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x24y231(y0).4 分(
14、2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由 ykx1，x24y231，得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23.所以|MN|1k2|x1x2|12k214k23.过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y1k(x1)，点A到直线m的距离为2k21，6 分所以|PQ|2422k21244k23k21.故四边形 MPNQ 的面积 S12|MN|PQ|12114k23.8 分可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3).12 分当 l 与 x 轴
15、垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，故四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 3).15 分方法指津与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法1数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解2构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解3构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域变式训练 2(名师押题)已知抛物线 C：x22py(p0)，过其焦点作斜率为 1的直线 l 交抛物线 C 于 M，N 两点，且|MN|16.(1)求抛物线 C 的方程；(2)已知动圆 P 的圆心在抛物线 C 上
16、，且过定点 D(0,4)，若动圆 P 与 x 轴交于A，B 两点，求|DA|DB|DB|DA|的最大值.【导学号：68334132】解(1)设抛物线的焦点为 F0，p2，则直线 l：yxp2.由yxp2，x22py，得 x22pxp20，x1x22p，y1y23p，|MN|y1y2p4p16，p4，抛物线 C 的方程为 x28y.4 分(2)设动圆圆心 P(x0，y0)，A(x1,0)，B(x2,0)，则 x208y0，且圆 P：(xx0)2(yy0)2x20(y04)2，令 y0，整理得 x22x0 xx20160，解得 x1x04，x2x04，6 分设 t|DA|DB|x04216x042
17、16x208x032x208x032116x0 x208x032，当 x00 时，t1，7 分当 x00 时，t116x0832x0.x00，x032x08 2，t11688 2 32 2 21，且 t1，综上知 21t1.11 分 f(t)t1t在 21,1上单调递减，|DA|DB|DB|DA|t1t 211212 2，当且仅当 t 21，即 x04 2时等号成立|DA|DB|DB|DA|的最大值为 2 2.15 分热点题型 3 圆锥曲线中的探索性问题题型分析：探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论
18、，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【例 3】如图 13-5，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，A，B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，D(1,0)为线段 OF2 的中点，且AF2 5BF2 0.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A，B)，连接 MF1 并延长交椭圆 E 于点 N，连接 MD，ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P，Q，连接 PQ，设直线 MN，PQ的斜率存在且分别为 k1，k2.试问是否存在常数，使得 k1k20 恒成立？若存在，求出 的值
19、；若不存在，说明理由图 13-5 解题指 导 (1)D为OF2的中点 求c a与c的关系 椭圆方程(2)假设存在常数 设点M，N，P，Q的坐标 直线MD的方程与椭圆方程联立 用点M的坐标表示点P，Q的坐标 点M，F1，N共线 得到点M，N坐标的关系 求k2 得到k1与k2的关系解(1)AF2 5BF2 0，AF2 5F2B，ac5(ac)，化简得 2a3c，又点 D(1,0)为线段 OF2 的中点，c2，从而 a3，b 5，左焦点 F1(2,0)，故椭圆 E 的方程为x29y251.4 分(2)假设存在满足条件的常数，使得 k1k20 恒成立，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，
20、y3)，Q(x4，y4)，则直线 MD 的方程为 xx11y1 y1，代入椭圆方程x29y251，整理得，5x1y21y2x11y1 y40，6 分 y1y3y1x11x15，y3 4y1x15，从而 x35x19x15，故点 P5x19x15，4y1x15，同理，点 Q5x29x25，4y2x25.10 分 三点 M，F1，N 共线，y1x12 y2x22，从 而x1y2 x2y1 2(y1 y2)，从 而k2 y3y4x3x4 4y1x15 4y2x255x19x15 5x29x25x1y2x2y15y1y24x1x27y1y24x1x27k14，故 k14k27 0，从而存在满足条件的常
21、数，47.15 分方法指津探索性问题求解的思路及策略1思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在2策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件变式训练 3 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为 F1(3，0)，F2(3，0)，点 P 在椭圆 C 上，满足|PF1|7|PF2|，tanF1PF24 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 A(1,0)，试探究是否存在直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于 D，E 两点，且使得|AD|AE|？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在
22、，请说明理由.【导学号：68334133】解(1)由|PF1|7|PF2|，PF1PF22a 得 PF17a4，PF2a4.2 分由余弦定理得 cosF1PF177a42a422 3227a4 a4，a2，所求 C 的方程为x24y21.4 分(2)假设存在直线 l 满足题设，设 D(x1，y1)，E(x2，y2)，将 ykxm 代入x24y21 并整理得(14k2)x28kmx4m240，由 64k2m24(14k2)(4m24)16(m24k21)0，得 4k21m2.6 分又 x1x2 8km14k2.设 D，E 中点为 M(x0，y0)，M 4km14k2，m14k2，kAMk1，得 m14k23k，10 分将代入得 4k2114k23k2，化简得 20k4k210(4k21)(5k21)0，解得 k 55 或 k 55，所以存在直线 l，使得|AD|AE|，此时 k 的取值范围为，55 55，.15 分专题限时集训（十三）点击上面图标进入
