1、1一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_答案2y2解析由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，2)，设圆心为(a,0)，其中a0，由4a，解得a，所以该圆的标准方程为2y2.2.过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C：1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于_答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.、两式相减并整理得.把已知条件代入上式得，故椭圆的离心率e.3已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离
2、心率e_.答案解析如图，设右焦点为F1，|BF|x，则cosABF.解得x8，故AFB90.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|8，且FAF190，FAF1是直角三角形，|F1F2|10，故2a8614,2c10，e.4设椭圆E的方程为1(ab0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程解(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM，从而，进而得ab，c2b，故e.(2)由题设条件和(1)的
3、计算结果可得，直线AB的方程为1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNSkAB1，从而有解得b3.所以a3，故椭圆E的方程为1.5如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2| 2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)解法一：连接QF1
4、，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e .解法二：连接QF1，如上图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由P
5、F1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|.|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e .6.已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)解法一：由(1)知，椭
6、圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2, x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(
7、x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB|x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.7设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切求直线l的斜率解(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2.又b2a2c2，则.所以椭圆的离心
8、率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故椭圆方程为1.设P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因为点P在椭圆上，故1.由和可得3x4cx00.而点P不是椭圆的顶点，故x0c，代入得y0，即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc.设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx.由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4.所以，直线l的斜率为4或4.8已知椭圆C的中心在原点，离心率e，右焦点为F(，0)(1)求椭圆C的方程；(2)设
9、椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量与共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由解(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，又离心率e，右焦点为F(，0)，c，a2，b21，故椭圆C的方程为y21.(2)假设椭圆C上存在点P(x0，y0)，使得向量与共线(x0，y01)，(，1)，x0(y01)又点P(x0，y0)在椭圆y21上，y1.由解得或P(0，1)或P.当点P的坐标为(0，1)时，直线AP的方程为x0，当点P的坐标为P时，直线AP的方程为x4y40，故存在满足题意的点P，直线AP的方程为x0或x4y40.9在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，且椭圆C上一点N到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C于点A、B.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆上一点，且满足t(O为坐标原点)，当|AB|0，解得k2.由题意得(x1x2，y1y2)t(x，y)，则x(x1x2)，y(y1y2)k(x1x2)6k.由点P在椭圆上，得4，化简得36k2t2(14k2)由|AB|x1x2|，得(1k2)(x1x2)24x1x23，将x1x2，x1x2代入得(1k2)0，则8k210，即k2，k2.由得t29，由得3t24，2t或t2.故实数t的取值范围为2t或t2.