1、33复数的几何意义对应学生用书P43复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以问题2：试说明理由提示：因复数zabi(a，bR)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数zabi(a，bR)问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示问题2：向量和点Z有何关系？提示：有一一对应关系问题3：复数zabi与有何关系？提示：也是一一对
2、应1复数与点，向量间的对应关系2复数的模复数zabi(a，bR)对应的向量为，则的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|abi|.复数加减法的几何意义如图、分别与复数abi，cdi对应问题1：试写出、及、的坐标提示：(a，b)，(c，d)，(ac，bd)，(ac，bd)问题2：向量及所对应的复数分别是什么？提示：(ac)(bd)i及(ac)(bd)i.1复数加法的几何意义设向量，分别与复数z1abi，z2cdi对应，且和不共线如图，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量就是复数(ac)(bd)i对应的向量2复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设，分别
3、与复数abi，cdi相对应，且，不共线，如图则这两个复数的差z1z2与向量 (等于)对应，这就是复数减法的几何意义3设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则|z1z2|，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部2表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i对应的点Z在下列
4、位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线xy30上？思路点拨利用复数与复平面内点之间的对应关系求解若已知复数zabi(a，bR)，则当a0且b0且b0时，复数z对应的点在第四象限；当ab30时，复数z对应的点在直线xy30上精解详析因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数若已知复数zabi，则当a0，且b0时，复数z对应的点在第三象限；当a0，且b0时，复数z对应的点在第四象限；当ab30时，复数z对应的点在直线xy30上(1)当实数x满足即3x2时，点Z在第三象限(2)当实数x满足即2x5时，点Z在第四象限(3)当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即x2时，点Z在直
5、线xy30上一点通按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值1(湖北高考改编)在复平面内，复数 z(i为虚数单位)的共轭复数对应点位于第_象限解析：zi1的共轭复数为1i，对应的点为(1，1)在第四象限答案：四2求当实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上解：(1)由题意，知解得即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限(2)由题意，知由得m7或m4.因m
6、7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上复数模及其几何意义的应用例2已知复数z1i及z2i.(1)求|z1|及|z2|的值并比较它们的大小；(2)设zC，满足|z2|z|z1|的点z的集合是什么图形思路点拨由复数的模长公式求出|z1|及|z2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形精解详析(1)|z1|i|2，|z2| 1，所以|z1|z2|.(2)由(1)知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原
7、点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示一点通(1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离3(辽宁高考改编)复数z的模为_解析：zi，|z| .答案：4已知z3ai，且|z2|2，则实数a的取值范围是_解析：z3ai，z21ai，|z2|2，即1a24，a23，即a.答案：(，)5设zC，则满足条件|z|34i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：法一：由|z|34i|得|z|5.这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等
8、于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆法二：设zxyi(x，yR)，则|z|2x2y2.|34i|5，由|z|34i|得x2y225，点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆复数加减运算的几何意义例3已知OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,32i，24i，试求：(1) 表示的复数；(2) 表示的复数；(3)点B对应的复数思路点拨精解详析(1)，故表示的复数为(32i)，即32i.(2)，故表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)，故表示的复数为(32i)(24i)16i，即点B对应的复数为16i.一点通(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算
9、可以转化为点的坐标运算或向量运算(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能6已知复数z12i，z212i在复平面内对应的点分别为A、B，求对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：zz2z1(12i)(2i)1i，z的实部10，复数z在复平面内对应的点在第二象限内7在复平面内，点A、B、C分别对应复数z11i，z25i，z333i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长解：如图，由复数加减法的几何意义，即z4z1(z2z1)(z3z1)所以z4z2z3z
10、173i.|AD|z4z1|(73i)(1i)|62i|2.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径(1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；(2)复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个2复数的模(1)复数zabi(a，bR)的模|z|；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离一、填空题1
11、若、对应的复数分别是7i,32i，则|_.解析：(7,1)，(3，2)，(4，3)，|5.答案：52(重庆高考改编)复平面内表示复数i(12i)的点位于第_象限解析：i(12i)2i对应的点为(2,1)，位于第一象限答案：一3若z|z|28i，则z_.解析：法一：设zabi(a，bR)，则|z|，代入方程得abi28i.所以解得所以z158i.法二：原式可化为z2|z|8i，|z|R，2|z|是z的实部于是|z|，即|z|2684|z|z|2，|z|17.代入z2|z|8i，得z158i.答案：158i4已知z12i，z23ai(aR)，若z1z2所对应的点在实轴上，则a_.解析：z1z22i
12、3ai5(a1)i，由z1z2所对应的点在实轴上可知a10，即a1.答案：15(新课标全国卷改编)设zi，则|z|_.解析：iiii，则|z| .答案：二、解答题6若复数z(m2m2)(4m28m3)i(mR)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合解：由题意得(m2m2)(4m28m3)i，对应的点位于第一象限，所以有所以所以即1m，故所求m的集合为.7在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2i，12i.(1)求，对应的复数；(2)判断ABC的形状；(3)求ABC的面积解：(1)对应的复数为zBzA(2i)11i.对应的复数为zCzB(12i)(2i)3i.对应的复数为zCzA(12i)122i.(2)由(1)知|1i|，|3i|，|22i|2，|2|2|2.故ABC为直角三角形(3)SABC|22.8若zC且|z22i|1，求|z22i|的最小值解：已知|z(22i)|1中，z的对应点轨迹是以(2,2)为圆心，1为半径的圆，|z(22i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3