1、专题五 平面解析几何突破点 12 圆锥曲线的定义、方程、几何性质核心知识 聚集 热点题型 探究 专题限时集训 栏目导航(对应学生用书第 44 页)核心知识提炼提炼 1 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)抛物线：|PF|PM|，点 F 不在直线 l 上，PMl 于 M(l 为抛物线的准线).提炼 2 圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 在椭圆中：a2b2c2；离心率为 eca1b2a2；在双曲线中：c2a2b2；离心率为 eca1b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
2、 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax；焦点坐标 F1(c,0)，F2(c,0)；双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为 yabx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为p2，0，准线方程为 xp2；抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为0，p2，准线方程为 yp2.提炼 3 弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|1k2|x1 x2|1k2 x1x224x1x2 或|AB|11k2|y1 y2|11
3、k2y1y224y1y2.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2p24，y1y2p2；弦长|AB|x1x2p 2psin2(为弦 AB 的倾斜角)；1|FA|1|FB|2p；以弦 AB 为直径的圆与准线相切高考真题回访回访 1 椭圆及其性质1(2017浙江高考)椭圆x29y241 的离心率是()A.133 B.53C.23D.59B 椭圆方程为x29y241，a3，c a2b2 94 5.eca 53.故选 B.2(2016浙江高考)已知椭圆 C1：x2m2y21(m1)与双曲线 C2：x2n2
4、y21(n0)的焦点重合，e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则()Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cm1Dmn 且 e1e2n2.m1，n0，mn.C1 的离心率 e1 m21m，C2 的离心率 e2 n21n，e1e2 m21m n21n m21n21mnm21n21m2n2n212n22n2n42n21n42n2 11.3(2015浙江高考)椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点 F(c,0)关于直线 ybcx 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是_22 设椭圆的另一个焦点为 F1(c,0)，如图，连接 QF1，QF，设 QF 与直线 ybcx 交于点 M.由题
5、意知 M 为线段 QF 的中点，且 OMFQ.又 O 为线段 F1F 的中点，F1QOM，F1QQF，|F1Q|2|OM|.在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c，可解得|OM|c2a，|MF|bca，故|QF|2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a.由椭圆的定义得|QF|QF1|2bca 2c2a 2a，整理得 bc，a b2c2 2c，故 eca 22.4(2014浙江高考)如图 12-1，设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P，且点 P 在第一象限(1)已知直线 l 的斜率为 k，用 a，b，k 表示点 P
6、的坐标；(2)若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直，证明：点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 ab.图 12-1解(1)设直线 l 的方程为 ykxm(k0，可化为(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|16.由|PF1|PF2|2，得(|PF1|PF2|)24|PF1|PF2|4.故 2|PF1|PF2|PF1|PF2|242，代入不等式可得(|PF1|PF2|)228，解得|PF1|PF2|2 7.不妨设 P 在左支上，|PF1|216|PF2|20，即(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)16，又|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|8.故 2 7|PF1|PF2|0
7、，b0)的两条渐近线分别交于点 A，B.若点 P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_52 双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax.由ybax，x3ym0，得 Aam3ba，bm3ba，由ybax，x3ym0，得 Bama3b，bma3b，所以 AB 的中点 C 坐标为a2m9b2a2，3b2m9b2a2.设直线 l：x3ym0(m0)，因为|PA|PB|，所以 PCl，所以 kPC3，化简得 a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以 eca 52.回访 3 抛物线及其性质8(2015浙江高考)如图 12-2，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线
8、上有三个不同的点 A，B，C，其中点 A，B在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是()A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|21图 12-2A 由图形可知，BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线，易知BCF 与ACF 的面积之比就等于|BC|AC|.由抛物线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为x1.点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH与准线垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1
9、.在CAN 中，BMAN，|BC|AC|BM|AN|BF|1|AF|1.9(2016浙江高考)若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 点到 y轴的距离是_9 设点 M 的横坐标为 x，则点 M 到准线 x1 的距离为 x1，由抛物线的定义知 x110，x9，点 M 到 y 轴的距离为 9.10(2016浙江高考)如图 12-3，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点M
10、，求 M 的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1的距离，2 分由抛物线的定义得p21，即 p2.4 分图 12-3(2)由(1)得，抛物线方程为 y24x，F(1,0)，可设 A(t2,2t)，t0，t1.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1 消去 x 得 y24sy40，6 分故 y1y24，所以 B1t2，2t.7 分又直线 AB 的斜率为 2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t，所以 Nt23t21，2t.8 分设 M
11、(m,0)，由 A，M，N 三点共线得 2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m 2t2t2122t21，11 分所以 m2.经检验，m2 满足题意综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，).15 分(对应学生用书第 46 页)热点题型 1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.【例 1】(1)已知方程x2m2ny23m2n1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是()【导学号：68334125】A(1,3)B(1，3)C(0
12、,3)D(0，3)(2)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF与 C 的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.72 B3 C.52 D2(1)A(2)B(1)若双曲线的焦点在 x 轴上，则m2n0，3m2n0.又(m2n)(3m2n)4，m21，1n0，3n0，1n3m2 且 n0)，O 为坐标原点，F 为其焦点，准线与 x 轴交点为 E，P 为抛物线上任意一点，则|PF|PE|()图 12-4A有最小值 22B有最小值 1C无最小值D最小值与 p 有关(1)A(2)A(1)设双曲线的渐近线方程为 ykx，即 kxy0，由题意知|2|k21
13、1，解得 k 3，则双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线方程为x2a2y2b21，则有22a212b21，ba 3，解得a2113，b211，故选 A.(2)过点 P 作 PF垂直于准线交准线于 F.设 Py22p，y，故|PF|y22pp2，|EF|y，因为|EF|PF|1y2p p2y1，此时|PF|PE|有最小值 22，故选 A.热点题型 2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于 a，c 的方程或不等式是求解的关键.【例 2】(1)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，
14、A，B 分别为 C 的左、右顶点P 为 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为()A.13 B.12C.23 D.34(2)(2017杭州第二次质检)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 A，B 在抛物线上，且AFB120，弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的射影为 M1，则|MM1|AB|的最大值为_(1)A(2)33 (1)如图所示，由题意得 A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由 PFx轴得 Pc，b2a.设 E(0，m)，又 PFOE，得|MF|OE|AF|AO|
15、，则|MF|maca.又由 OEMF，得12|OE|MF|BO|BF|，则|MF|mac2a.由得 ac12(ac)，即 a3c，所以 eca13.故选 A.(2)如图所示，由抛物线的定义以及梯形的中位线定理得|MM1|AF|BF|2，在ABF 中，由余弦定理得|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 23|AF|2|BF|2|AF|BF|(|AF|BF|)2|AF|BF|(|AF|BF|)2|AF|BF|223|MM1|2，当且仅当|AF|BF|时，等号成立，故|MM1|AB|取得最大值 33.方法指津1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围
16、，关键是根据已知条件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换，求ca的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得(2)用法：可得ba或ab的值 利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练 2(1)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21 的左，右焦点，点 M 在 E上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F113，则 E 的离心率为()A.2 B.32C.3 D2(2)(名师押题)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过点F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若F1AB 是以
17、A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()【导学号：68334126】A.22B2 3C.52D.6 3(1)A(2)D(1)法一：如图，因为 MF1 与 x 轴垂直，所以|MF1|b2a.又 sinMF2F113，所以|MF1|MF2|13，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得 2a|MF2|MF1|2|MF1|2b2a，所以 b2a2，所以 c2b2a22a2，所以离心率 eca2.法二：如图，因为 MF1x 轴，所以|MF1|b2a.在 RtMF1F2 中，由 sinMF2F113得tanMF2F1 24.所以|MF1|2c 24，即 b22ac 24，即c2a22ac 24，整理得 c2 22 aca20，两边同除以 a2 得 e2 22 e10.解得 e 2(负值舍去)(2)设|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|2m.由椭圆的定义可知F1AB 的周长为 4a，4a2m 2m，m2(2 2)a.|AF2|2am(2 22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2 2)2a24(21)2a24c2，e296 2，e 6 3.专题限时集训（十二）点击上面图标进入
