1、学业分层测评(八)第2章 2.2.2间接证明(建议用时：45分钟)一、填空题1.ABC中，若ABAC，P是ABC内的一点，APBAPC，求证：BAPCAP.用反证法证明时的假设为_.【答案】BAPCAP2.用反证法证明命题“在一个三角形的三个内角中，至少有两个锐角”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“在一个三角形的三个内角中，_个锐角.”【解析】“至少有两个”的否定是“至多有一个”.【答案】至多有一个3.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是_.【解析】因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以
2、要做的假设是“方程x3axb0没有实根”.【答案】方程x3axb0没有实根4.命题“a，b是实数，若|a-1|b-1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为_.【解析】“ab1”是“a1且b1”，又因“p且q”的否定为“p或q”，所以“ab1”的否定为“a1或b1”.【答案】a1或b15.若下列两个方程x2(a-1)xa20，x22ax-2a0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是_.【解析】若两个方程均无实根，则解得-2ab与ab及ab中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立.其中正确的是_(填序号).【解析】因为a，b，c不全相等，所以正确；显然正确，中的ac，bc，ab可以同时
3、成立，所以错.【答案】8.完成反证法证题的全过程.题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a1-1)(a2-2)(a7-7)为偶数.证明：假设p为奇数，则_均为奇数.因7个奇数之和为奇数，故有(a1-1)(a2-2)(a7-7)为_.而(a1-1)(a2-2)(a7-7)(a1a2a7)-(127)_.与矛盾，故p为偶数.【解析】由假设p为奇数可知(a1-1)，(a2-2)，(a7-7)均为奇数，故(a1-1)(a2-2)(a7-7)(a1a2a7)-(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾.【答案】a1-1，a2-2，a7-7奇数0二、解答题9.已知x，y，z
4、均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.【证明】假设x，y，z都小于4，即x4，y4，z4，于是得12，而2 2 2 12，这与12矛盾，因此假设错误，即x，y，z中至少有一个不小于4.10.等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【解】(1)设公差为d，由已知得d2，故an2n-1，Snn(n).(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2-pr)(2
5、q-p-r)0.p，q，rN*，2pr，(p-r)20，pr，这与pr矛盾.所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.1.实数a，b，c不全为0等价于_.【答案】a，b，c中至少有一个不为0.2.设a，b，c都是正数，则三个数a，b，c与2的大小关系是_.【解析】假设a，b，c均小于2，则abc6.又a2，b2，c2，abc6，与矛盾，假设不成立a，b，c至少有一个不小于2.【答案】a，b，c至少有一个不小于23.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的
6、话只有两句是对的，则获奖的歌手是_.【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.若f(x)的定义域为，值域为(a-2)，使函数h(x)是区间上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.【解】(1)由已知得g(x)(x-1)21，其图象的对称轴为x1，区间在对称轴的右边，所以函数在区间上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，即b2-bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假如函数h(x)在区间(a-2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(-2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾，故不存在.