1、专题五 平面解析几何突破点 11 直线与圆核心知识 聚集 热点题型 探究 专题限时集训 栏目导航 建知识网络 明内在联系高考点拨 平面解析几何是浙江新高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升(对应学生用书第 41 页)核心知识提炼提炼 1 圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆
2、心在原点时，方程为 x2y2r2.(2)圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中 D2E24F0，表示以D2，E2 为圆心，D2E24F2为半径的圆.提炼 2 求解直线与圆相关问题的两个关键点(1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理(2)两个公式：点到直线的距离公式 d|Ax0By0C|A2B2，弦长公式|AB|2 r2d2(弦心距 d)提炼 3 求距离最值问题的本质(1)圆外一点 P 到圆 C 上的点距离的最大值为|PC|r，最小值为|PC|r，其中 r 为圆的半径(2)圆上的点到直线的最大距离是 dr，最小距离是 dr，其中 d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径(3)过圆内一点
3、，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦高考真题回访回访 1 两条直线的位置关系1(2012浙江高考)设 aR，则“a1”是“直线 l1：ax2y10 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件A 若直线 l1与 l2平行，则 a(a1)210，即 a2 或 a1，所以 a1 是直线 l1与直线 l2平行的充分不必要条件2(2011浙江高考)若直线 x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，则实数m_.1 直线 x2y50 与直线 2xmy60 互相垂直，22m0，m1.回访 2 圆的方程3(2016浙江高考)已知
4、aR 方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_(2，4)5 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x2y2x2y520，配方得x122(y1)2540，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是 5.4(2015浙江高考)已知实数 x，y 满足 x2y21，则|2xy4|6x3y|的最大值是_15 x2y21，2xy40，|2xy4|6x3y|42xy6x3y 103x4y.令 z103x4y，如图，设 OA 与
5、直线3x4y0 垂直，直线 OA 的方程为 y43x.联立y43x，x2y21，得 A35，45，当 z103x4y 过点 A 时，z 取最大值，zmax10335 445 15.5(2013浙江高考)如图 11-1，点 P(0，1)是椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点，C1 的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1 交圆C2 于 A，B 两点，l2 交椭圆 C1 于另一点 D.图 11-1(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程解(1)由题意得b1，a2.2 分所以椭圆 C 的方程为x24
6、y21.5 分(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)由题意知直线 l1 的斜率存在，不妨设其为 k，则直线 l1 的方程为 ykx1.6 分又圆 C2：x2y24，故点 O 到直线 l1 的距离 d1k21，所以|AB|2 4d224k23k21.7 分又 l2l1，故直线 l2 的方程为 xkyk0.由xkyk0，x24y24消去 y，整理得(4k2)x28kx0，故 x0 8k4k2，所以|PD|8 k214k2.8 分设ABD 的面积为 S，则 S12|AB|PD|8 4k234k2，11 分所以 S324k23134k233224k23134k2316 1313
7、，当且仅当 k 102 时取等号所以所求直线 l1 的方程为 y 102 x1.15 分回访 3 直线与圆、圆与圆的位置关系6(2014浙江高考)已知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy20 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是()A2B4C6D8B 由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1,1)，半径 r 2a.圆心到直线 xy20 的距离为 d|112|2 2.由 r2d2422 得 2a24，所以 a4.7(2013浙江高考)直线 y2x3 被圆 x2y26x8y0 所截得的弦长等于_4 5 圆的方程可化为(x3)2(y4)225，故圆心为(3,4)，半径 r5.又直线方程
8、为 2xy30，所以圆心到直线的距离为 d|2343|41 5，所以弦长为 2 r2d22 2552 204 5.8(2015浙江高考)如图 11-2，已知抛物线 C1：y14x2，圆C2：x2(y1)21，过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O 的直线 PA，PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切，A，B 为切点图 11-2(1)求点 A，B 的坐标；(2)求PAB 的面积解(1)由题意知直线 PA 的斜率存在，故可设直线 PA 的方程为 yk(xt).2 分由ykxt，y14x2消去 y，整理得 x24kx4kt0，由于直线 PA 与抛物线相切，得 kt.3 分因此，点 A 的坐标为
9、(2t，t2)设圆 C2 的圆心为 D(0,1)，点 B 的坐标为(x0，y0)由题意知：点 B，O 关于直线 PD 对称，故y02x02t1，x0ty00，5 分解得x0 2t1t2，y0 2t21t2，因此，点 B 的坐标为2t1t2，2t21t2.7 分(2)由(1)知|AP|t 1t2，直线 PA 的方程为 txyt20.点 B 到直线 PA 的距离是 dt21t2.11 分设PAB 的面积为 S(t)，则 S(t)12|AP|dt32.15 分(对应学生用书第 43 页)热点题型 1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.【例 1】(1)已
10、知圆 C 关于 y 轴对称，经过点 A(1,0)，且被 x 轴分成的两段弧长之比为 12，则圆 C 的方程为_(2)已知M 的圆心在第一象限，过原点 O 被 x 轴截得的弦长为 6，且与直线 3xy0 相切，则圆 M 的标准方程为_(1)x2y 33243(2)(x3)2(y1)210(1)因为圆 C 关于 y 轴对称，所以圆 C 的圆心 C 在 y 轴上，可设 C(0，b)，设圆 C 的半径为 r，则圆 C 的方程为 x2(yb)2r2.依题意，得12b2r2，|b|12r，解得r243，b 33.所以圆 C 的方程为 x2y 33243.(2)法一：设M 的方程为(xa)2(yb)2r2(
11、a0，b0，r0)，由题意知 b29r2，|3ab|3212r，a2b2r2，解得a3，b1，r210，故M 的方程为(x3)2(y1)210.法二：因为圆 M 过原点，故可设方程为 x2y2DxEy0，又被 x 轴截得的弦长为 6 且圆心在第一象限，则D2232，故 D6，与 3xy0 相切，则E2D213，即 E13D2，因此所求方程为 x2y26x2y0.故M 的标准方程为(x3)2(y1)210.方法指津求圆的方程的两种方法1几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程2代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数变式训练 1(1)(201
12、7温州市普通高中高考模拟考试)圆 x2y22y30 的圆心坐标是_，半径是_(2)抛物线 y24x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A，B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M，则过 M，A，B 三点的圆的标准方程为_(1)(0,1)2(2)(x1)2y24(1)化圆的一般式方程为标准方程，得 x2(y1)24，由此知该圆的圆心坐标为(0,1)，半径为 2.(2)由题意知，A(1,2)，B(1，2)，M(1,0)，AMB 是以点 M 为直角顶点的直角三角形，则线段 AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x1)2y24.热点题型 2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与
13、圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.【例 2】(1)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|_.4 由直线 l：mxy3m 30 知其过定点(3，3)，圆心 O 到直线 l 的距离为 d|3m 3|m21.由|AB|2 3得3m 3m212(3)212，解得 m 33.又直线 l 的斜率为m 33，所以直线 l 的倾斜角 6.画出符合题意的图形如图所示，过点 C 作 CEBD，则DCE6.在 RtCDE中，可得|CD|AB|cos 2 3 234.
14、(2)(2017金华十校联考)如图 11-3，已知圆 G：(x2)2y2r2 是椭圆x216y21 的内接ABC 的内切圆，其中 A 为椭圆的左顶点 求圆 G 的半径 r；过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E，F 两点，证明：直线 EF 与圆G 相切图 11-3解 设 B(2r，y0)，过圆心 G 作 GDAB 于 D，BC 交长轴于 H.由GDADHBAH得r36r2 y06r，即 y0r 6r6r，2 分而 B(2r，y0)在椭圆上，y2012r216124rr216r2r616，3 分由式得 15r28r120，解得 r23或 r65(舍去).5 分 证明：设过点 M(0,
15、1)与圆(x2)2y249相切的直线方程为 ykx1，则23|2k1|1k2，即 32k236k50，解得 k19 4116，k29 4116.将代入x216y21 得(16k21)x232kx0，则异于零的解为 x32k16k21.8 分设 F(x1，k1x11)，E(x2，k2x21)，则x1 32k116k211，x2 32k216k221，12 分则直线 FE 的斜率为 kEFk2x2k1x1x2x1 k1k2116k1k234，于是直线 FE 的方程为 y 32k2116k211134x 32k116k211.即 y34x73，则圆心(2,0)到直线 FE 的距离 d32731 91
16、623，故结论成立.15 分方法指津1直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算2弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2 r2d2(其
17、中 l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)(2)根据公式：l 1k2|x1x2|求解(其中 l 为弦长，x1，x2 为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解变式训练 2(1)(2017金丽衢十二校高三第二次联考)如图 11-4，圆 M 和圆 N与直线 l：ykx 分别相切于 A，B，与 x 轴相切，并且圆心连线与 l 交于点 C，若|OM|ON|且AC2CB，则实数 k 的值为()【导学号：68334120】图 11-4A1 B.34 C.3 D.43D 分别过点 M，N 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E，F.由题意，得MACNB
18、C，由AC2CB，知|MA|2|NB|.又由 x 轴与直线 ykx 是两个圆的公切线知MON90，|MA|ME|，|NB|NF|，结合|OM|ON|，知|ME|2|NF|，OMENOF，所以|OF|ME|2|NF|，所以 tanNOF|NF|OF|12，则 tanBOFtan 2NOF2tanNOF1tan2NOF43，故选 D.(2)已知点 M(1,0)，N(1,0)，曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 距离的 3倍 求曲线 E 的方程；已知 m0，设直线 l1：xmy10 交曲线 E 于 A，C 两点，直线 l2：mxym0 交曲线 E 于 B，D 两点C，D 两点均在 x
19、轴下方当 CD 的斜率为1 时，求线段 AB 的长解 设曲线 E 上任意一点坐标为(x，y)，由题意，x12y2 3 x12y2，2 分整理得 x2y24x10，即(x2)2y23 为所求.4 分 由题知 l1l2，且两条直线均恒过点 N(1,0)，设曲线 E 的圆心为 E，则 E(2,0)，线段 CD 的中点为 P，则直线 EP：yx2，设直线 CD：yxt，由yx2，yxt，解得点 Pt22，t22.7 分由圆的几何性质，|NP|12|CD|ED|2|EP|2，而|NP|2t22 1 2t222，|ED|23，|EP|2|2t|22，t22 1 2t2223|2t|22，解得 t0 或 t3，又 C，D 两点均在 x 轴下方，直线 CD：yx.由x2y24x10，yx，解得x1 22，y 22 1，或x1 22，y 22 1.9 分设 C1 22，22 1，D1 22，22 1，由x2y24x10，yux1消去 y 得：(u21)x22(u22)xu210，(*)方程(*)的两根之积为 1，所以点 A 的横坐标xA2 2，又因为点 C1 22，22 1 在直线 l1：xmy10 上，解得 m 21，11 分直线 l1：y(21)(x1)，所以 A(2 2，1)，同理可得，B(2 2，1)，所以线段 AB 的长为 2 2.15 分专题限时集训（十一）点击上面图标进入