1、43.2函数的极大值和极小值1.理解极值的有关概念2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件3会用导数求函数的极大值和极小值1极大值点与极大值设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，此时x0称为f(x)的一个极大值点2极小值点与极小值设函数yf(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)f(x0)，x(a，b)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，此时x0称为f(x)的一个
2、极小值点3驻点若f(c)0，则xc叫作函数f(x)的驻点4求极值的一般步骤(1)求导数f(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f(x)0的根；(3)检查f(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个驻点处取得极小值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)导数值为0的点一定是函数的极值点()(2)极大值一定比极小值大()(3)函数f(x)无极值()答案：(1)(2)(3)2如图是导函数yf(x)的图象，在标记的点_处，函数yf(x)有极大值()Ax2Bx3Cx5 Dx4答案
3、：B3函数y13x2x3的极小值是_，极大值是_答案：15求函数的极值学生用书P13求下列函数的极值(1)f(x)2；(2)f(x)x2ex.【解】(1)f(x).令f(x)0，得驻点x1和x1，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)31当x1时，f(x)取得极小值，f(x)极小值f(1)3.当x1时，f(x)取得极大值，f(x)极大值f(1)1.(2)因为f(x)x2ex的定义域为R.f(x)2xexx2()2xexx2exxex(2x)，令f(x)0，得x10和x22，根据x1，x2列表分析f(x)的符号、f(x)的单调性和极值
4、点：x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且f(0)0.当x2时，函数有极大值，且f(2)4e2.(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的定义域区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0. 求函数f(x)3ln x的极值解：函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0得x1.根据x1列表分析f(x)的符号、f(x)的单调性和极值点：x(0，1)1(1，)f(x)
5、0f(x)极小值3因此当x1时，f(x)有极小值，并且f(1)3.无极大值已知极值求参数已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值【解】因为f(x)3x26axb且函数f(x)在x1处有极值0，所以即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值所以a2，b9.已知函数极值求参数的方
6、法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：求函数的导数f(x)；由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数注意求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f(x)0或f(x)0在某区间内恒成立，此时需注意不等式中的等号是否成立 已知函数f(x)ax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极小值解：(1)因为当x1时，函数有极大值3，所以所以解之，得a6，b
7、9.(2)由第一问，得f(x)18x218x18x(x1)当f(x)0时，x0或x1.当f(x)0时，0x1；当f(x)0时，x1.所以函数f(x)6x39x2的极小值为f(0)0.函数极值的综合应用设函数f(x)x3x26xa.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)0有且仅有三个实根，求实数a的取值范围【解】(1)因为f(x)x3x26xa，所以f(x)3x29x63(x1)(x2)，令f(x)0，可得x1或x2；令f(x)0，可得1x2，故f(x)的单调增区间为(，1)和(2，)，单调减区间为(1，2)(2)由(1)知当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取
8、极小值f(2)2a；因为方程f(x)0仅有三个实根所以解得2a.即a的取值范围为.本例中，a为何值时，方程f(x)0恰有两个实根？解：方程f(x)0恰有两个实根，则有极大值f(1)a0或极小值f(2)2a0，所以a或a2.研究函数图象与x轴交点个数的方法函数的图象与x轴的交点个数，主要是看极大值和极小值的符号求出导函数后找到极值点和其对应的极值，再结合图象判断零点个数 若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1，1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，f(x)的极大
9、值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0(如图所示)，即k4.所以k的取值范围是(，4)(4，)1极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f
10、(x4)f(x1)2极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f(x0)0”的充分但不必要条件；(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧和右侧f(x)的符号不同如果在x0的两侧f(x)的符号相同，则x0不是极值点1设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是()A必有f(x0)0Bf(x0)不存在Cf(x0)0或f(x0)不存在Df(x0)存在但可能不为0答案：A2下列函数存在极值的是()AyByxexCyx3x22x3Dyx3解析：选B.A中f(x)，令f(
11、x)0无解，且f(x)为双曲线所以A中函数无极值B中f(x)1ex，令f(x)0可得x0.当x0，当x0时，f(x)0.所以yf(x)在x0处取极大值，f(0)1.C中f(x)3x22x2，424200；当x(1，)时f(x)0；当x(1，)时f(x)0C当x(，1)时f(x)0D当x(，1)时f(x)0；当x(1，)时f(x)0解析：选C.因为f(x)在x1处取极小值，所以x1时f(x)1时f(x)0.2函数f(x)x2ln x的极值点为()A0，1，1B.C D.，解析：选B.由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0.
12、所以当x时，f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为x，无极大值点，选B.3设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D.由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可得函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值，故选D.4函数f(x)定义在区间a，b上，其导函
13、数的图象如图所示，则在a，b上函数f(x)的极值点个数为()A3 B4C6 D7解析：选C.图象与x轴有6个交点，即使得导数值为0的点有6个，且在交点两侧附近导函数值异号，故函数有6个极值点5设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析：选A .yexa，令y0得exa，即xln(a)0，所以a1.6函数yx2x取极小值时x等于_解析：y2xx2xln 22x(1xln 2)0.所以x.当x时，f(x)0，函数递增；当x时，f(x)0，函数递减所以函数在x时取得极小值答案：7已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_解析：x2是f(x)
14、的极大值点，因为f(x)x(x22cxc2)所以f(x)x(2x2c)x22cxc23x24cxc2，所以f(2)c28c120.所以c2或c6.当c2时，f(x)在x2处只能取极小值不能取极大值，所以c6.答案：68函数yxex在其极值点处的切线方程为_解析：由题知yexxex，令y0，解得x1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y.答案：y9已知f(x)x3ax2bxc在x11与x2时都取得极值(1)求a，b的值；(2)若f(1)，求f(x)的单调区间和极值解：(1)f(x)3x22axb，令f(x)0.由题设，知x11与x2为f(x)0的解所以
15、a1，1()所以a，b2.(2)由(1)知f(x)x3x22xc，由f(1)12c，得c1.所以f(x)x3x22x1.所以f(x)3x2x2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的递增区间为(，)和(1，)，递减区间为(，1)当x时，f(x)有极大值，f()；当x1时，f(x)有极小值，f(1).10已知函数f(x)，a0.(1)求f(0)，f(1)的值，并比较它们的大小；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)，所以f(0)，f(1).因为f(0)f(1)0，所以f(0)f(1)(2)令f(x)0，解
16、得xa，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，a)a(a，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可知函数f(x)在xa处取得极大值f(a)，在xa处取得极小值f(a).B能力提升11函数yx32axa在(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A(0，3) B(，3)C(0，) D.解析：选D.y3x22a，因为函数在(0，1)内有极小值，所以y3x22a0在(0，1)内必有实数解，记f(x)3x22a，如图所以解得0a0)，且方程f(x)9x0的两个根分别为1，4.(1)当a3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(，)内无极值点，
17、求a的取值范围解：(1)由f(x)x3bx2cxd，得f(x)ax22bxc.因为f(x)9xax2(2b9)xc0的两个根分别为1，4，所以(*)当a3时，由(*)式得解得b3，c12.又因为曲线yf(x)过原点，所以d0.故f(x)x33x212x.(2)由于a0，因为f(x)x3bx2cxd在(，)内无极值点，所以f(x)ax22bxc0在(，)内恒成立由(*)式得2b95a，c4a，所以(2b)24ac9(a1)(a9)解得a1，9，即a的取值范围为1，914(选做题)已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)，当a0，所以当a0时，由f(x)0，解得x，由f(x)0，解得x0时，f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，f(x)的单调递减区间为(，)(2)因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)3(1)23a0.所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23.由f(x)0，解得x11，x21.由(1)中f(x)的单调性，可知f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性，可知m的取值范围是(3，1)
