1、42导数的运算42.1几个幂函数的导数42.2一些初等函数的导数表1.掌握基本初等函数的导数公式2.能应用基本初等函数的导数解决有关问题1几个幂函数的导数(1)常函数的导数为0：(c)0；(2)恒等函数导数为1：(x)1；(3)(x2)2x；(4)(x3)3x2；(5)().(6)().2基本初等函数的导数公式(公式对函数定义域内的自变量x有效)(1)(c)0；(2)(x)x1(0)；(3)(ex)ex；(4)(ax)axln_a(a0，a1)；(5)(ln x)(x0)；(6)(logax)(a0，a1，x0)；(7)(sin x)cos_x；(8)(cos x)sin_x；(9)(tan
2、x)(10)(cot x).1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)因为(ln x)，则ln x()答案：(1)(2)2若ycos ，则y等于()ABC0 D.答案：C3若函数f(x)，则f(1)等于()A0 BC2 D.答案：D求导函数求下列函数的导数：(1)y；(2)yx12；(3)yx；(4)y；(5)y；(6)y2x.【解】(1)y()0.(2)y(x12)12x12112x11.(3)y(x)(x)x1.(4)y()(x4)4x414x5.(5)y()(x)x1x .(6)y(2x)2xln 2.基本初等函数的导数公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当
3、选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验 求下列函数的导数(1)y0；(2)y；(3)yex；(4)y(sincos)21.解：(1)因为yc0，所以y00.(2)yx2，因为y(xn)nxn1，所以y(x2)2x212x3.(3)由基本初等函数的导数公式表知y(ex)exln eex.(4)因为y(sincos)21sin22sincoscos21sin x.所以y(sin x)cos x.求在点P处的切线方程已知曲线yx3上一点P(2，8)，求点P处的切线方程【解】设yf(x)，因为点P(2，8)在曲线yx3上，所以点P处的切线的斜率即为f(
4、2)因为yx3，所以f(x)3x2；所以f(2)12.故曲线yx3在点P处的切线方程为y812(x2)，即12xy160.求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤(1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0)，得到切线的斜率kf(x0) (2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)如果切线平行于y轴，则切线方程为xx0.函数ylg x在点(1，0)处的切线方程是_解析：ylg xylg ekf(1)lg e.所以切线方程为y(x1)lg e.答案：y(x1)lg e求过点P的切线方程求曲线y过点(3，2)的切线方程【解】因为点(3，2)不在曲线y上所以设过点(
5、3，2)与曲线y相切的直线在曲线的切点为(x0，y0)，则y0.因为y，所以y(x)x1 .所以根据导数的几何意义，曲线在点(x0，y0)处的切线斜率k .因为切线过点(3，2)，所以，整理得()2430，解得x01，x09，所以切点坐标为(1，1)或(9，3)(1)当切点坐标为(1，1)时，切线斜率k，所以切线方程为y2(x3)，即x2y10.(2)当切点坐标为(9，3)时，切线斜率k，所以切线方程为y2(x3)，即x6y90.综上可知：曲线y过点(3，2)的切线方程为x2y10或x6y90.求过曲线外的点P(x1，y1)的曲线的切线方程的步骤 求过点A(2，0)且与曲线y相切的直线方程解：
6、易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y，得所求直线方程为yy0(xx0)由点(2，0)在直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为xy20.1在应用求导公式时应注意的问题(1)对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记，但对于公式(logax)(x0，a0且a1)和(ax)axln a(a0)的记忆就较难，很容易混淆，要注意区分2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0
7、)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点1已知f(x)x2，则f(3)()A0B2xC6D9解析：选C.因为f(x)2x，所以f(3)6.2若f(x)cos x，则f()等于()Asin Bcos C2sin Dsin 解析：选D.f(x)(cos x)sin x，所以f()sin .3曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为_解析：y(ex)ex，所以ke2，所以切线方程为：ye2e2(x2)令x0得ye2；令y0得x1.所以Se21e2.答案：e2 A基础达标1函数y的导数是()A.BC D.解析：选D.因为tan
8、x，所以由导数公式表可知(tan x).2下列结论中不正确的是()A若y3，则y0B若y，yC若y，则yD若y3x，则y3解析：选B.因为y()(x)x1x，所以B错误3若f(x)sin x，则f(2)等于()A1 B1C0 Dcos x解析：选A.因为f(x)sin x，所以f(x)cos x，所以f(2)cos 21.4曲线yex在点A(0，1)处的切线斜率为()A1 B2Ce D.解析：选A.y(ex)ex，所以当x0时，ye01，故yex在A(0，1)处的切线斜率为1，选A.5若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30Bx4y50C4xy30Dx4y30
9、解析：选A.y(x4)4x3.设切点为(x0，y0)，则4x()1，所以x01.所以切点为(1，1)所以l的方程为y14(x1)，即4xy30，故选A.6设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 016(x)等于()Asin x Bsin xCcos x Dcos x解析：选A.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解f0(x)sin x，f1(x)f0(x)cos x，f2(x)f1(x)sin x，f3(x)f2(x)cos x，f4(x)f3(x)sin x，所以周期为4，故f2 016(x)f4(x)sin x故选A.
10、7已知函数f(x)3x，则f(0)_解析：f(x)3xln 3，则f(0)ln 3.答案：ln 38已知f(x)ln x，且f(x0)，则x0_解析：f(x)，所以f(x0)，又f(x0)，所以，所以x0x.所以x00(舍)或x01.答案：19y的斜率为1的切线方程为_解析：令y1，得x1.所以切点为(1，1)或(1，1)所以切线方程为y1(x1)或y1(x1)即xy20或xy20.答案：xy20或xy2010求下列函数的导数(1)y2；(2)y；(3)y10x；(4)ylogx；(5)y2cos21.解：(1)因为yc0，所以y20.(2)因为y(xn)nxn1，所以y()(x)x1x .(
11、3)因为y(ax)axln a，所以y(10x)10xln 10.(4)因为y(logax)，所以y(logx).(5)因为y2cos21cos x，所以y(cos x)sin x. B能力提升11求曲线yf(x)在点(2，1)处的切线方程解：因为y，所以y，因此曲线f(x)在点(2，1)处的切线的斜率k.由点斜式可得切线方程为y1(x2)，即x4y60.12(选做题)已知两条曲线ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由解：设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)所以两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1cos x0，k2sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0(sin x0)1，即sin x0cos x01，也就是sin 2x02，这是不可能的所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直