1、加练课1 空间向量的运算及其应用学习目标1. 掌握空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.自主检测必备知识见学用14页一、概念辨析，判断正误1.空间中任意两个非零向量a，b共面.( )2.若a，b，c是空间的一组基底，则a，b，c中至多有一个零向量.( )3.若对于非零向量b，有ab=bc，则a=c .( )二、夯实基础，自我检测4.已知a=(1，-32，52)，b=(-3，-152)满足ab，则= ( )A.23 B.92 C.-92 D.-23答案：
2、B解析：因为ab，所以a=tb，又a=(1，-32，52)，b=(-3，-152)，所以1=-3t，-32=t，52=-152t，解得t=-13，=92 .5.已知a=(1，0，1)，b=(x，1，2)，且ab=3，则向量a与b的夹角为( )A.56 B.23 C.3 D.6答案：D解析：$because $ab=x+2=3，x=1，$therefore $b=(1，1，2).cosa,b=ab|a|b|=326=32 .又a,b0,，$therefore $a与b的夹角为6，故选D.6.已知a=(2，3，1)，b=(-4，2，x)，且ab，则|b|= .答案：26解析：由题意知ab=2(-4
3、)+32+1x=0，$therefore $x=2，|b|=(-4)2+22+22=26 .7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是B1C1的中点，且DO=xDA+yDC+zDD1，则x+y+z的值为 .答案：52解析：在正方体中得DO=DC+CC1+C1O=12DA+DC+DD1，因为DO=xDA+yDC+zDD1，所以x=12，y=1，z=1，所以x+y+z=52 .互动探究关键能力学用15页见探究点一空间向量的线性运算精讲精练例在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AB=a，AD=b，AA1=c，E，F分别是AD1，BD的中点（1）用向量a，b，c表示D1B，EF；（2）若
4、D1F=xa+yb+zc，求实数x，y，z的值答案：（1）D1B=D1D+DB=-AA1+AB-AD=a-b-c，EF=EA+AF=12D1A+12AC=-12(AA1+AD)+12(AB+AD)=12(a-c)（2）D1F=12(D1D+D1B)=-12c+12(a-b-c)=12a-12b-c所以x=12,y=-12,z=-1 .解题感悟用基向量表示指定向量的步骤（1）结合已知向量和所求向量观察图形（2）将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中（3）利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来迁移应用1.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点用
5、AB，AD，AA1表示OC1，则OC1= .答案：12AB+12AD+AA1OC=12AC=12(AB+AD)，OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+AA1=12AB+12AD+AA12. （2020山东潍坊高二期中）在空间四边形OABC中,若E,F分别是AB,BC的中点，H是EF上一点，且EH=13EF，记OH=xOA+yOB+zOC，则(x,y,z)= .答案：(13,12,16)解析：如图，因为EH=13EF，E,F分别是AB,BC的中点，所以，OH=OE+EH=OE+13EF=OE+13(OF-OE)=23OE+13OF=2312(OA+OB)+1312(OB+OC)=13OA+1
6、2OB+16OC，所以(x,y,z)=(13,12,16) .探究点二空间向量的数量积及其应用精讲精练类型1 数量积的运算例1 （1）已知在三棱锥A-BCD中，底面BCD为等边三角形，AB=AC=AD=3，BC=23，点E为CD的中点，点F为BE的中点.若点M、N是空间中的两动点，且MBMF=NBNF=2，MN=2，则AMAN= ( )A.3B.4C.6D.8（2）已知三点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，Q点的坐标是 .答案：（1）B（2）(43,43,83)解析：（1）建立空间直角坐标系如图所示，因为AB=AC=AD=3，
7、底面BCD为等边三角形，且BC=23，所以OD=2，AO=5 .则B(-3,-1,0)，D(0,2,0)，C(3,-1,0)，点E为CD的中点，所以E(32,12,0) .点F为BE的中点，所以F(-34,-14,0) ,设M（x，y，z），因为MBMF=2，所以(x+3)2+(y+1)2+z2=4(x+34)2+(y+14)2+z2，化简得x2+y2+z2=1，所以点M在以(0,0,0)为球心，1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2，所以MN为球的直径，AMAN=(AO+OM)(AO+ON)=(AO+OM)(AO-OM)=AO2-OM2=5-1=4 .（2）由点Q在直线OP上可得存在
8、实数使得OQ=OP，则有Q(,2)，所以QA=(1-,2-,3-2)，QB=(2-,1-,2-2)，所以QAQB=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=2(32-8+5),根据二次函数的性质可得当=43时，QAQB取得最小值，此时Q点的坐标为(43,43,83).类型2 数量积的应用例2 （1）已知向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，且ka+b与2a-3b垂直，则k的值是( )A. 35 B.45 C. 65 D. 115（2）如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1PMC，则PBC的面积的最小值为
9、( )A. 255 B. 55C.45 D.1答案：（1）D（2）A解析：（1）向量a=(1,0,-1)，b=(-1,2,1)，ka+b=(k-1,2,-k+1)，2a-3b=(5,-6,-5)，ka+b与2a-3b垂直,(k-1)5+2(-6)+(-k+1)(-5)=0，解得k=115 .（2）以D为原点,DA，DC，DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）,依题意有M(2,0,1)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，设P(2,a,b)，则MC=(-2,2,-1)，D1P=(2,a,b-2)，因为MCD1P，所以(-2,2,-1)(2,a,b-2)=-4+2a-b
10、+2=0，解得b=2a-2 .根据正方体的性质可知,BCBP，故三角形PBC为直角三角形,而B(2,2,0)，故|PB|=|(0,2-a,-b)|=(2-a)2+(-b)2，三角形PBC的面积为12|BC|PB|=(2-a)2+(-b)2=5a2-12a+8，当a=1210=65时,面积取得最小值,为5(65)2-1265+8=255,故选A.解题感悟数量积的计算有两种形式,一是利用数量积的定义,注意准确地确定两个向量的夹角；二是数量积的坐标运算,在几何图形中建立恰当的空间直角坐标系后,可把数量积的运算坐标化,使垂直、平行、夹角等问题更易求解.迁移应用1.若向量a=(1,1)，b=(2,-1,
11、-2)，且a与b夹角的余弦值为26 ,则等于( )A.-2B.2C.-2或2 D.2答案：A解析：由题意可知|a|=2+2，|b|=3，ab=12+(-1)+1(-2)=-，cosa,b=ab|a|b|=-32+2=26，解得=-2（=2舍去）2.已知|a|=32，|b|=4，m=a+b，n=a+b，a,b=135，mn，则= .答案：-32解析：由mn，得(a+b)(a+b)=0，所以a2+(1+)ab+b2=0所以18+(+1)324cos135+16=0 ,即4+6=0，所以=-32 .探究点三空间向量的应用精讲精练例如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M,N分
12、别是AB,CD的中点.（1）求证：MNAB；（2）求|MN|；（3）求向量AN与MC的夹角的余弦值.答案：设AB=p，AC=q，AD=r .由题意可知,|p|=|q|=|r|=a，且p,q,r两两夹角均为60 .（1）证明：MN=AN-AM=12(AC+AD)-12AB=12(q+r-p)，MNAB=12(q+r-p)p=12(qp+rp-p2)=12(a2cos60+a2cos60-a2)=0 .MNAB（2）由（1）可知MN=12(q+r-p)，MN2=14(q+r-p)2=14q2+r2+p2+2(qr-pq-rp)=14a2+a2+a2+2(a22-a22-a22)=142a2=a22
13、 .|MN|=22a .（3）设向量AN与MC的夹角为 .AN=12(AC+AD)=12(q+r)，MC=AC-AM=q-12p，ANMC=12(q+r)q-12p=12q2-12qp+rq-12rp=12a2-12a2cos60+a2cos60-12a2cos60=12a2-a24+a22-a24=a22又|AN|=|MC|=32a，ANMC=|AN|MC|cos=32a32acos=a22 .cos=23向量AN与MC的夹角的余弦值为23 .解题感悟利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度的问题.迁移应用1.在棱
14、长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CD上的点，且BE=CF .求证：B1FD1E .答案：证明以A为原点，AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BE=x，因为BE=CF，所以CF=x .因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，所以B1(a,0,a)，D1(0,a,a)，E(a,x,0)，F(a-x,a,0)，所以B1F=(-x,a,-a),D1E=(a,x-a,-a)，所以B1FD1E=-ax+a(x-a)+a2=0，所以B1FD1E .评价检测素养提升见学用16页课堂检测1.向量a=(1,2,x)，b=(y,2
15、,-1)，若|a|=5且ab，则x+y的值为( )A.-1B.1C.-4D.4答案：C2.在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(-2,-1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则AB与CD ( )A.垂直B.平行C.异面D.不能判断答案：B3.如图，在空间四边形ABCD中，ABCD+ACDB+ADBC= ( )A.-1B.1C.0D.不确定答案：C素养演练逻辑推理应用空间向量解决共面问题1.已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任意一点O，若点M满足OM=13(OA+OB+OC) .（1）判断MAMB,MC三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内.解析：审：已知点M
16、满足OM=13(OA+OB+OC)，判断MA,MB,MC三个向量是否共面及点M是否在平面ABC内.联：利用空间向量的运算消去O，利用共面向量定理判定MA,MB,MC三个向量是否共面，进而判定点M是否在平面ABC内.答案：解：（1）共面.理由：由已知得OA+OB+OC=3OM，OA-OM=(OM-OB)+(OM-OC) .即MA=BM+CM= -MB-MC，MA,MB,MC共面.（2）点M在平面ABC内.理由：由（1）知MA,MB,MC共面且过同一点M.四点M,A,B,C共面，从而点M在平面ABC内.解析：思：证明空间四点P,M,A,B共面的方法：MP=xMA+yMB；对空间任一点O，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；PM/AB（或PA/MB或PB/AM）.
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