1、章末知识整合整合网络构建专题1利用正弦、余弦定理解三角形典例1ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B. (1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.分析：(1)由已知等式的特点，利用正弦定理把已知等式转化为边之间的关系，然后再结合余弦定理求解(2)由(1)知两角和一角的对边，利用正弦定理求解解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos 45cos 30sin 45.故ab1，cb2.归纳拓展解三角形的一般方法(1)已知两角和
2、一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.变式训练1在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求A和tan B的值解：由题意得cos A，因此A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件可得：，从而tan B.专题
3、2三角形形状的判断典例2在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状分析：只要根据已知条件找到三角形的边或角的关系，就可以确定三角形的形状解：(1)由已知，根据正弦定理，可得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得cos A，所以A120.(2)法一：由(1)知BC60，B60C，由sin Bsin C1，得sin(60C)sin C1，即sin 60cos Ccos 60sin Csin C1，即sin(C60)1，而0C60，所以C30.
4、故B30，所以ABC为等腰钝角三角形法二：由(1)b2c2bca2得sin2Bsin2Csin Bsin Csin2A，即(sin Bsin C)2sin Bsin C，所以sin Bsin C.与sin Bsin C1联立，解得sin Bsin C，而0B，C60，所以BC.所以ABC为等腰钝角三角形归纳拓展要注意正弦的多值性，否则可能漏解另外，还要注意等腰三角形或直角三角形与等腰直角三角形的区别判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角函数方法求解在解三角形时的常用结论有：(1)在ABC中，ABabsin Asin
5、Bcos Acos B.(2)在ABC中，ABC，ABC，则cos(AB)cos C，sin(AB)sin C，sincos.(3)在ABC中，a2b2，a2b2c2C，a2b2c20C.变式训练2在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解：法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.因为B60，所以AC120.则A120C，代入上式，得2sin 60sin(120C)sin C，整理得sin Ccos C1.所以sin(C30)1，所以C3090，所以C60.故A60.所以ABC为正三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos B.因为B60，b，所以a2c22ac
6、cos 60.整理，得(ac)20，所以ac，从而abc.所以ABC为正三角形专题3求三角形的面积典例3在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积S.分析：(1)利用正弦定理将已知等式左边化成角，进而化简整理等式可求解；(2)利用余弦定理及(1)的结论先求出边c，再求面积解：(1)由正弦定理，设k，则，所以，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及c
7、os B，b2，得4a24a24a2，解得a1.从而c2.又因为cos B，且0B8，所以货轮无触礁危险归纳拓展应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案变式训练42009年国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图所示，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排距离为10米，求旗杆的高度解：设旗杆的高度为x米，ABC105，CAB45，所以ACB30.根据正弦定理可知，即BC20.所以旗杆高度xBCsin 602030(米)故旗杆的高度为30米