1、加练课 1 空间向量及其运算的综合应用学习目标1.进一步掌握空间向量及其运算的综合应用,从而解决新定义问题.2.进一步掌握空间向量中的最值问题.自主检测必备知识一、概念辨析,判断正误1.若 均为非零向量,则 是 与 共线的充要条件.()2.在向量的数量积运算中,.()3.若 是空间的一个基底,则 中至多有一个零向量.()4.对空间中任意一点 与不共线的三点,若 （其中 ）,则,四点共面.()5.空间中任意三个向量一定是共面向量.()二、夯实基础,自我检测6.已知 ,则向量 与 的夹角为()A.B.C.D.答案：7.如图所示,在平行四边形 中,把 沿对角线 折起,使 与 成 角,则 的长为.答案
2、：2 或 解析：与 成 角,或 .又 ,或 的长为 2 或.8.在直三棱柱 中,棱 为 的中点.（1）求 的长;（2）求 与 所成角的余弦值.答案：（1）以 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 .依题意得 ,线段 的长为.（2）依题意得 .又 故 与 所成角的余弦值为 .互动探究关键能力探究点一 空间向量的新定义问题精讲精练例 已知 定义一种运算：.在四棱锥 中,底面 是一个平行四边形,（1）求 的值,并求证：平面 ;（2）求四棱锥 的体积,说明 的值与四棱锥 体积的关系,并由此猜想 的绝对值的几何意义.答案：（1）由题意得 .,即 又 平面 ,平面 .（2）由题意知 ,平行四边形
3、,平行四边形 ,.猜想：的绝对值表示以 为邻边的平行六面体的体积.解题感悟向量的新定义问题,解题时根据新定义的规则运算即可.迁移应用设全体空间向量组成的集合为 为 中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,“因变量”也是向量的“向量函数”.（1）设 ,若 ,求向量 的坐标;（2）对于 中任意的单位向量,求 的最大值.答案：（1）依题意得 .设 ,代入运算得 ()或 .（2）设 与 的夹角为,则 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立.故 的最大值为 2.探究点二 空间向量中的最值问题精讲精练类型 1 构造函数求最值例 1（2021 江苏扬州高二月考）已知 ,点 在直线 上运动.当 取得最小值时
4、,点 的坐标为()A.(2,2,4)B.C.D.答案：解析：设 ,即 ,故 ,所以 故当 时,取得最小值,此时 ,故选 D.解题感悟解决此类问题的关键是运用空间向量的坐标运算建立所求的目标函数,从而转化为函数的最值问题求解.类型 2 直观判断求最值例 2 在棱长为 2 的正四面体 中,点 满足 点 满足 ,当 、最短时 ()A.B.C.D.答案：解析：由共面向量基本定理和共线向量基本定理可知,平面 ,当 、最短时,平面 ,为 的中心,为 的中点,此时 ,平面 平面 ,.又 ,故选 A.迁移应用1.（2021 四川资阳高二期末）如图,在棱长为 3 的正方体 中,为平面 上的一个动点,分别为 的三
5、等分点,则 的最小值为()A.B.C.D.答案：解析：过 作 关于平面 的对称点 ,连接 交平面 于点 .可以证明此时的 使得 最小,任取 （不含 ）,此时 .建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,因为 分别为 的三等分点,所以 ,又点 到平面 的距离为 1,所以 所以 的最小值为 .2.（2021 陕西宝鸡高二期末）在空间直角坐标系 中,已知 ,点,分别在 轴,轴上,且 ,那么 的最小值是.答案：解析：设 ,又 ,即 .（当且仅当 时,等号成立）.评价检测素养提升1.直三棱柱 的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱长为 3,分别为 的中点,则 ()A.2B.-2C.D.答案：2.（多选题）在正方体 中,点 分别为棱 的中点,则下列结论正确的是()A.B.C.平面 D.和 所成的角为 答案：3.已知 是空间中两两垂直的单位向量,且 则 的最小值为.答案：
