1、71柱、锥、台的侧面展开与面积 预习课本P4446，思考并完成以下问题 (1)柱、锥、台的侧面展开图分别是什么？ (2)柱、锥、台的侧面积公式是什么？ 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式圆柱S圆柱侧2rl r为底面半径l为侧面母线长圆锥S圆锥侧rl r为底面半径l为侧面母线长圆台S圆台侧(r1r2)l r1为上底面半径r2为下底面半径l为侧面母线长2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图侧面积公式直棱柱S直棱柱侧chc为底面周长h为高正棱锥S正棱锥侧chc为底面周长h为斜高，即侧面等腰三角形的高正棱台S正棱台侧(cc)hc为上底面周长
2、c为下底面周长h为斜高，即侧面等腰梯形的高点睛(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()(2)圆台的高就是相应母线的长()(3)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长()答案：(1)(2)(3)2棱长为3的正方体的表面积为()A27 B64C54 D36答案：C3圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其
3、侧面积等于()A72 B42C67 D72答案：B4一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的侧面积为_答案：4旋转体的侧面积(表面积)及其应用题点一：圆柱的侧面积(表面积)问题1圆柱的侧面展开图是两边长分别为6和4的矩形，则圆柱的表面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)解析：选C由题意，圆柱的侧面积S侧64242.以边长为6的边为母线时，4为圆柱底面周长，则2r4，即r2，所以S底4，所以S表S侧2S底24288(31)以边长为4的边为母线时，6为圆柱底面周长，则2r6，即r3，所以S底9，所以S表S侧2S底242186(43)2(陕西高考)将边长为
4、1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4B3C2 D 解析：选C由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.题点二：圆锥的侧面积(表面积)问题3轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的()A4倍 B3倍C.倍 D2倍解析：选D由已知得l2r，2，故选D.4圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A11 B12C13 D14解析：选C如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心因为O1为PO2的中点，所以，所以PAAB，O2B2O1A.又因为S圆锥侧O1APA，
5、S圆台侧(O1AO2B)AB，则.题点三：圆台的侧面积(表面积)问题5若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是_解析：因为S侧(r1r2)l2(rr)2(9)20，所以l5.答案：5旋转体的表面积的求法技巧圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 多面体的侧面积(表面积)及应用典例某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82 B112C142 D15解析该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱S表2(12)12121222112，故选B.答案B1由三视图求几何体的表面积的步骤(
6、1)画：由三视图还原为直观图，即画出物体的直观图(2)标：结合三视图的特征，标明直观图中的相关量及线线之间的位置关系，(如垂直、平行)(3)算：根据直观图计算相应的量，(如表面积、侧面积)2多面体的表面积的求解方法(1)棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积根据平面几何知识求解，求侧面积的关键是求斜高和底面边长(2)斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等，往往可以构成直角三角形(或梯形)，利用好这些直角三角形(或梯形)是解题的关键 活学活用正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，它的高SO3，求此正三棱锥的侧面积解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h，如图所示，过O作OEAB，连接
7、SE，则SEAB，且SEh.因为S侧2S底，所以3aha22.所以a h.因为SOOE，所以SO2OE2SE2.所以322h2.所以h2 .所以a h6.所以S底 a2629 .所以S侧2S底18 .组合体的侧面积(表面积)及应用典例已知梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADa，BC2a，DCB60，在平面ABCD内，过C作lCB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求此旋转体的表面积 解如图所示，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的在直角梯形ABCD中，ADa，BC2a，AB(2aa)tan 60a，DC2a，又DDDC2a，则S表S圆柱表S圆锥侧S圆锥底22aa2(2a)2a2aa2(9
8、4)a2.1求组合体的表面积的三个基本步骤(1)弄清楚它是由哪些基本几何体构成的，组成形式是什么(2)根据组合体的组成形式设计计算思路(3)根据公式计算求值2求组合体的表面积的解题策略(1)对于由基本几何体拼接成的组合体，要注意拼接面重合对组合体表面积的影响(2)对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体，要注意新产生的截面和原几何体表面的变化活学活用已知ABC的三边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积解：如图，在ABC中，过C作CDAB，垂足为D.由AC3，BC4，AB5，知AC2BC2AB2，则ACBC.所以BCACABCD，所以
9、CD，记为r，那么ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径r，母线长分别是AC3，BC4，所以S表面积r(ACBC)(34).层级一学业水平达标1棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.B2C3 D4解析：选AS表4S正4.2若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A12 B1C1 D.2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h2r，其母线长lr.S侧rlr2，S底r2，S底S侧1.3若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45角，则这个圆台的侧面积是()A27 B27C9 D36解析：选B由题意r3，r6，l3，S侧(rr)l(36)327.
10、4圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7 B6C5 D3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.5已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A. B.C. D.解析：选A设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h2r，所以S表2r22rh2r2(12)，又S侧h242r2，所以.6表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，rlr23，且l2r.解得r1，即直径为2.答案：27
11、已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的侧面积是_解析：由圆锥的性质知其底面圆的半径为1，所以圆锥的侧面积为S侧rl122.答案：28一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_解析：由三视图可知，该几何体为一个长方体中挖去一个圆柱构成其中长方体的长、宽、高分别为4,3,1，圆柱的底面圆的半径为1，高为1.长方体的表面积S12(434131)38；圆柱的侧面积S22112；圆柱的上下底面面积S32122.故该几何体的表面积SS1S2S338.答案：389已知正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)解：如图所示，正四棱锥的高PO，斜高
12、PE，底面边心距OE组成RtPOE.OE2 cm，OPE30，PE2OE4(cm)，因此，S棱锥侧ch44432(cm2)S表面积S侧S底321648(cm2)10圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是10cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100 cm2，求圆柱的底面半径和高 解：设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的对角线长，则：即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.层级二应试能力达标1一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A12B18C24 D36解析：选C由三视图知该几何
13、体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.2如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为()A5 B.C. D.1解析：选B设底面边长为a，则由底面周长为4，得a1，SE .S侧4.3三视图如图所示的几何体的表面积是()A7 B.C7 D.解析：选A图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，表面积S表面2S底S侧面(12)12(112)17.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为()A11 B1C1 D12解
14、析：选C如图，三棱锥D1AB1C的各面均是正三角形其边长为正方体侧面对角线设正方体的棱长为a，则面对角线长为a，S锥4(a)22a2，S正方体6a2，故S锥S正方体1.5正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x29x180的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其侧面梯形的高为_解析：方程x29x180的两个根为x13，x26，设侧面梯形的高为h，则由题意得(36)h43262，解得h.答案：6用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是_解析：如图为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如
15、图所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.答案：87已知一正三棱台ABCA1B1C1的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积的和，求棱台的高解：如图，在正三棱台ABCA1B1C1中，O，O1为两底面中心，D，D1是BC，B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由A1B120，AB30，得OD5，O1D1，由S侧S上S下得(6090)DD1(202302)所以DD1.在直角梯形O1ODD1中，O1O 4.即棱台的高为4 cm.8如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB3，AA14，M为AA1中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短距离为，设这条最
16、短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)PC与NC的长；(3)此棱柱的表面积解：(1)正三棱柱ABCA1B1C1侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.(2)如图，将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P移动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PCx，即P1Cx，在RtMAP1中，由勾股定理得(3x)22229，求得x2，PCP1C2.，NC.(3)棱柱的表面积：SS侧2S底94232.72柱、锥、台的体积 预习课本P4648，思考并完成以下问题 (1)柱体、锥
17、体、台体的体积公式分别是什么？ (2)由柱体的体积公式能得到锥体的体积公式吗？由锥体的体积公式能得到台体的体积公式吗？ 柱、锥、台体的体积公式几何体体积公式柱体圆柱、棱柱V柱体Sh S为柱体底面积，h为柱体的高锥体圆锥、棱锥V锥体ShS为锥体底面积，h为锥体的高台体圆台、棱台V台体(S上S下)hS上、S下为台体的上、下底面面积，h为高点睛柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系： (其中S，S表示台体上、下底面面积)1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)三棱锥的体积可以用任意一个面和对应高求()(2)锥体的体积是柱体体积的.()(3)圆台的体积可由两圆锥的体积差得出()答案：(
18、1)(2)(3)2圆柱的底面积是S，侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的体积是_答案：2S3已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_答案：284若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为_答案：4多面体的体积典例(1)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C. D.(2)已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为2 cm2，2 cm2，侧棱长为2 cm，则其体积为_ cm3.(3)一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，这个三棱锥的体积为_ 解析(1)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截
19、去三棱锥A1AB1D1.设正方体的棱长为a，则VA1AB1D1a3a3，故剩余几何体的体积为a3a3a3，所以比值为，故选D. (2)如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有解得底面菱形的面积Sxy(cm2)，所以该棱柱的体积为VSh2(cm3)(3)如图所示，正三棱锥SABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.因为ABC是边长为6的正三角形，所以AE63.则AHAE2.在ABC中，SABCBCAE639.在RtSHA中，SA，AH2，所以
20、SH.所以V正三棱锥SABCSH99.答案(1)D(2) (3)9求几何体体积的四种常用方法(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积活学活用(山东高考)一个六棱锥的体积为2 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2
21、，故该六棱锥的侧面积为12212.答案：12旋转体的体积典例(1)(山东高考)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C2 D4(2)体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为()A54 cm3 B54 cm3C58 cm3 D58 cm3 解析(1)绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V22.(2)由底面积之比为19知，体积之比为127，截得小圆锥与圆台
22、体积比为126，所以小圆锥体积为2 cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3.答案(1)B(2)A有关旋转体体积计算的技巧要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键活学活用设圆台的高为3，在轴截面中母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积 解：作圆台的轴截面A1ABB1，设上、下底面半径
23、分别为r，R，作A1DAB于点D，连接A1B，A1D3，A1AB60，又BA1A90，BA1D60，ADA1Dcot 60，Rr.BDA1Dtan 60 3， Rr3.R2，r，而h3，V圆台h(R2Rrr2)3(2)22()221.圆台的体积为21.几何体体积的求法题点一：等积变换法1.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_解析：V三棱锥ADED1V三棱锥EDD1A111.答案：2.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA2，PB3，PC4，求三棱锥PABC的体积V.解：三
24、棱锥的体积VSh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，PAC作为底面求解故VSPACPB2434.题点二：分割法3.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积解：如图，连接EB，EC.四棱锥EABCD的体积V四棱锥EABCD42316.AB2EF，EFAB，SEAB2SBEF.V三棱锥FEBCV三棱锥CEFBV三棱锥CABEV三棱锥EABCV四棱锥EABCD4.多面体的体积VV四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420.题点三：补形法4如图，一个底
25、面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积解：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.5已知四面体ABCD中，ABCD，BCAD2，BDAC5，求四面体ABCD的体积解：以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则VDABEDESABEV长方体，同理，VCABFVDACGVDBCHV长方体，V四面体ABCDV长方体4V长方体V长方体而V长方体23424，V四面体ABCD8.(1)三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫作体积
26、转移法(或称等积法)(2)当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积 层级一学业水平达标1若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3B60 cm3C64 cm3 D125 cm3解析：选B长方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为34560 cm3.2(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2 B.C. D.解析：选B由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为122121.3如图，某几何体的主视图是平行
27、四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A6 B9C8 D12解析：选B由三视图可知直观图是四棱柱，故V339.4某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3C. cm3 D. cm3解析：选C由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体下面是棱长为2 cm的正方体，体积V12228(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2222(cm3)，所以该几何体的体积VV1V2(cm3)5一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为()A24 B28C44 D48解析：选B由三视图知该几何
28、体的上面是一个半圆柱，下面是一个长方体，则由三视图的尺寸知该几何体的体积为V12412482.6已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_.解析：设底面半径为r，则r244，解得r，即底面半径为.答案：7一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V1212122.答案：8已知某几何体的三视图如图，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为_解析：该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于32431224.答案：249若
29、圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2rl，得l6r.又S锥r2r6r7r215，得r，圆锥的高h，Vr2h.10如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高若VM4 cm，AB4 cm，VC5 cm，求锥体的体积解：VM是棱锥的高，VMMC.在RtVMC中，MC3(cm)，AC2MC6(cm)在RtABC中，BC 2(cm)S底ABBC428(cm2)，V锥S底h84(cm3)棱锥的体积为cm3.层级二应试能力达标1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于()AB2C4 D8解析：选B设圆柱
30、的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧2r2r4r24，所以r1，所以V圆柱r22r2r32.2如图，ABCABC是体积为1的棱柱，则四棱锥CAABB的体积是()A. B.C. D.解析：选CVCABCV柱，VCAABB1.3(浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A72 cm3 B90 cm3 C108 cm3D138 cm3解析：选B由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何的体积VV四棱锥V三棱柱46343390(cm3)4某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件
31、的一个面内，则原工件材料的利用率为()A. B. C. D.解析：选A由三视图知原工件为一圆锥，底面半径为1，母线长为3，则高为2，设其内接正方体的棱长为x，则，x.V新工件x3.又V原工件122，.故选A.5三棱锥PABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥DABE的体积为V1，PABC的体积为V2，则_.解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2Sh，V1VEADBShSh，所以.答案：6在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形设点M，N，P分别是棱AB，BC，B1C1的中点，
32、则三棱锥PA1MN的体积是_解析：由三视图易知几何体ABCA1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，则VPA1MNVA1PMNVAPMN.又SPMNMNNP1，A到平面PMN的距离h，VAPMNSPMNh.答案：7如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1C1的体积之比解：设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh，VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V台h(S4S2S)Sh，VB A1B1CV台VA1ABCVC A1B1C1ShSh，所求体积比为124.8一个圆锥的底面半径为2
33、cm，高为6 cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱(1)求圆锥的侧面积(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值解：(1)圆锥的母线长为2(cm)，圆锥的侧面积S1224(cm2)(2)画出圆锥的轴截面如图所示：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知，r，圆柱的侧面积S22rx(x26x)(x3)29，当x3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6 cm2.73球预习课本P4850，思考并完成以下问题(1)什么叫作球的大圆？什么叫作球的小圆？ (2)球的表面积公式和体积公式是什么？ 1球的截面用一个平面去截半径为R的球O的球面得到的是圆有以下性质：(1)若平面过球心O，则
34、截线是以O为圆心的球的大圆 (2)若平面不过球心O，如图，设OO，垂足为O，记OOd，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OOOP，则有OP，即此时截线是以O为圆心，以r为半径的球的小圆2球的切线(1)定义：与球只有唯一公共点的直线叫做球的切线如图，l为球O的切线，M为切点(2)性质：球的切线垂直于过切点的半径；过球外一点的所有切线的长度都相等3球的表面积与体积公式前提条件球的半径为R表面积公式S4R2体积公式VR31判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)决定球的表面积与体积的关键量是球的半径()(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()(3)球的表面积和体
35、积与半径之间存在函数关系()答案：(1)(2)(3)2过球面上两点可能作出的球的大圆有_个答案：一或无数3两个球的半径之比为12，则这两个球的表面积之比为_答案：144半径为R的球的表面积与体积的比是_答案：球的体积与表面积的计算典例圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A1B2C4 D8解析如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.答案B求球的
36、体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆活学活用1某器物的三视图如图，根据图中数据可知该器物的体积是()A. B.C. D.解析：选D由三视图可知，此几何体上部是直径为2的球，下部是底面直径为2，高为的圆锥，所以V
37、1312.2若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，求圆锥侧面积与球面面积之比解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，则由题意得(2R)2hR3，Rh，r2h，l h，S圆锥侧rl2hh2h2，S球4R24h2，.球的截面问题典例如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm3解析如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM 2MB2(R2)
38、242，R5.V球53(cm3)答案A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2d2r2.活学活用 一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()A12 cm3 B36 cm3C64 cm3 D108 cm3解析：选B设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA 3(cm)，球的体积V3336(cm3).与球有关的组合问题题
39、点一：球的外切正方体问题1将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.B.C. D.解析：选A由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是13.题点二：球的内接长方体问题2一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为_解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R，所以球的表面积S4R214.答案：14题点三：球的内接正四面体问题3若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长
40、为x，则ax，由题意2Rxa，S球4R2aa.题点四：球的内接圆锥问题4球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_解析：设球的半径为R，则球心到圆锥底面的距离为R.当圆锥顶点与底面在球心两侧时，过球心及内接圆锥的轴作轴截面如图，此时圆锥底面圆的半径为R，高为R，故圆锥的体积与球的体积之比为.当圆锥顶点与底面在球心同侧时，同理求得二者体积比为.答案：或题点五：球的内接直棱柱问题5设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2解析： 选B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与
41、底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知APaa，OPa，所以球的半径ROA满足R222a2，故S球4R2a2.(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2 ，如图(2)(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2Ra. 层级一学业水平达标1直径为6的球的表面积和体积分别
42、是()A36，144B36，36C144，36 D144，144解析：选B球的半径为3，表面积S43236，体积V3336.2两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为()A2 B.C. D.解析：选C设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即VR3213，得R.3若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为()A21 B23C2 D25解析：选A设半球的半径为r，圆锥的高为h，则r2hr3，所以h2r，故选A.4棱长为2的正方体的外接球的表面积是()A8 B4C12 D16解析：选C正方体的体对角线长为2，即2R2，R，S4R212.5如
43、图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A9 B10C11 D12解析：选D由主视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱由面积公式可得该几何体的表面积S41221221312.6若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_解析：设此球的半径为R，则4R2R3，R3.答案：37某几何体的三视图如图所示，则其表面积为_解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S124123.答案：38两个球的半径相差1，表面积之差为28，则它们的体积和为_解析：设大、小两球半径分别为R，r，则所以所以体积和为R3r3.答案：9某组合体的
44、直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解：该组合体的表面积S4r22rl41221310，该组合体的体积Vr3r2l13123.10若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积解：在底面正六边形ABCDEF中，如图，连接BE，AD交于点O，连接BE1，则BE2OE2DE，所以BE，在RtBEE1中，BE12，所以2R2，则R，所以球的体积V球R34，球的表面积S球4R212.层级二应试能力达标1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A4B8C12 D20解析：选D由三视图可知，该几何
45、体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的表面积为4122224220.2正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.解析：选A如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A.3用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为，则球的表面积为()A. B.C8 D.解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为，截面圆的面积为S()2(R21)，R22，球的表面积S4R2
46、8.4一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A2009B20018C1409 D14018解析：选A这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为62210,1214,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为3，母线长为2，故V10453222009.5(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_解析：设球半径为R，正方体棱长为a，则V球R3，得到R，正方体体对角线的长为a2R，则a，所以正方体棱长为.答案：6(全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的
47、表面积为_解析：如图，设球O半径为R，则BHR，OH，截面圆半径设为r，则r2，r1，即HC1，由勾股定理得R221，R2，S球4R2.答案：7如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中BAC30)解：如图所示，过C作CO1AB于O1.在半圆中可得BCA90， BAC30，AB2R，ACR，BCR，CO1R，S球4R2，S圆锥AO1侧RRR2，S圆锥B O1侧RRR2，S几何体表S球S圆锥AO1侧S圆锥B O1侧R2R2R2.故旋转所得几何体的表面积为R2.8求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体
48、积之比解：如图，等边SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆O1.设球的半径O1OR，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R；OBO1Ocot 30R，SOOBtan 60R3R，V球R3，V柱R22R2R3，V锥(R)23R3R3，V球V柱V锥469.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为()A圆锥B三棱锥C三棱柱 D三棱台解析：选C由三视图易知其图形为如图所示的三棱柱2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直
49、观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()解析：选A由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2.3下列命题：在平面外的直线与平面不相交必平行；过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；如果一条直线与另一条直线平行，则它和经过另一条直线的任何平面平行；若直线上有两点到平面的距离相等，则直线平行于该平面其中正确命题的个数为()A1 B2C3 D4解析：选A正确，错误4分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交解析：选D如图所示，a，b是异面直线，AB，AC都与a，b相交，AB，AC相交；AB，DE
50、都与a，b相交，AB，DE异面5已知m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是()Alm，l Blm，lClm，l Dlm，l解析：选C如图，l可以垂直m，且l平行.6教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线()A平行 B异面C垂直 D相交但不垂直解析：选C分直尺所在直线在地平面内，直尺所在直线和地面垂直，直尺所在直线和地面相交三种情况讨论7已知a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，现给出四个命题：ab；a； a.其中正确的命题是()A BC D解析：选C正确错在可能a与b异面或相交错在a可能在内8已知某几何体的三视图如
51、下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：选C根据三视图可知原几何体是三棱锥，VSh111(cm3)9一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A280 B292C360 D372解析：选C由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体下面长方体的表面积为81022821022232，上面长方体的表面积为862622822152，又由于两个长方体的表面积重叠一部分，所以该几何体的表面积为232152262360，故选C.10设，为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三
52、个说法：若，则；若，l，则l；若l，m，n，l，则mn.其中正确的说法个数是()A3 B2C1 D0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故错误；由面面平行的性质知正确；借助于三棱柱可知正确11过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为()A. B.C. D.解析：选A如图所示，设球的半径为R，由题意知OO，OFR，rR.S截面r22R2.又S球4R2，.12在四面体ABCD中，下列条件不能得出ABCD的是()AABBC且ABBD BADBC且ACBDCACAD且BCBD DACBC且ADBD解析：选DA项，ABBD，ABBC，BDBCB，AB平面B
53、CD，CD平面BCD，ABCD.B项，设A在平面BCD内的射影为O，则AO平面BCD，ADBC，ACBD，O为BCD的垂心，连接BO，则BOCD.又AOCD，AOBOO，CD平面ABO，AB平面ABO，ABCD.C项，取CD中点G，连接BG，AG.ACAD且BCBD，CDBG，CDAG，BGAGG，CD平面ABG，AB平面ABG，ABCD，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13底面直径和高都是4 cm的圆柱的侧面积为_cm2. 解析：圆柱的底面半径为r42(cm)，S侧22416(cm2)答案：1614如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，M
54、NBC于M，则MN与AD的位置关系是_解析：由平面BCC1B1平面ABCD，知MN平面ABCD.MNAD.答案：垂直15圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面圆的半径是另一个底面圆的半径的2倍，则两底面圆的半径分别为_解析：如图，画出圆台轴截面，由题设，得OPA30，AB2a，设O1Ar，PAx，则OB2r，x2a4r，且x2r，ar，即两底面圆的半径分别为a,2a.答案：a,2a16.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_解析：设B1Fx，
55、因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得 x，得x.即线段B1F的长为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知某几何体的俯视图是矩形，主视图是一个底边长为8高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为
56、h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如图(1)几何体的体积VS矩形h68464.(2)正侧面及相对侧面底边上的高h15.左、右侧面的底边上的高h2 4.故几何体的侧面积S24024.18(12分)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.19(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB，BPBC2，E，F
57、分别是PB，PC的中点(1)证明：EF平面PAD；(2)求三棱锥EABC的体积V.解：(1)证明：在PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，EFBC.四边形ABCD为矩形，BCAD，EFAD.又AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)连接AE，AC，EC，过E作EGPA交AB于点G.则EG平面ABCD，且EGPA.在PAB中，APAB，PAB90，BP2，APAB，EG.SABCABBC2，VEABCSABCEG.20(12分)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点求证：(1)平面AB1F1平面C1BF；(2)平面AB1F1平面ACC1A1.证明
58、：(1)在正三棱柱ABC A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F.又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1平面A1B1C1，B1F1AA1.又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1.21(12分)矩形ABCD中，AB2，AD1，E为CD的中点，沿AE将 DAE折起到D1AE的位置，使平面D1AE平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF平面D1BC；(2)求证：BED1A.证明：(1)取AB的
59、中点G，连接EG，FG，则EGBC，FGD1B，且EGFGG，EG平面EFG，FG平面EFG，D1BBCB，D1B平面D1BC，BC平面D1BC，平面EFG平面D1BC.EF平面EFG，EF平面D1BC.(2)易证BEEA，平面D1AE平面ABCE.平面D1AE平面ABCEAE.BE平面D1AE.又D1A平面D1AE，BED1A.22(12分)(北京高考)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.