1、本章整合 集合 概念元素、集合、空集、全集等性质确定性、互异性、无序性表示法列举法、描述法、Venn 图法关系 元素与集合或集合与集合子集=或 运算 交集=|,且并集=|,或补集=|,且专题一 专题二 专题三 专题四 专题一 数形结合思想在集合运算中的应用 集合有交集、并集、补集这三种常见的运算,它是集合这一单元的核心内容之一.在进行集合的交集、并集、补集运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而出错,此时,数轴(或Venn图)是个好帮手,能将复杂问题直观化.在具体应用时,要注意检验端点值是否符合题意,以免增解或漏解.专题一 专题二 专题三 专题四 应用1已知全集U=x|x250,xN,L(UM
2、)=1,6,M(UL)=2,3,U(ML)=0,5,求集合M和L.提示:可以借助Venn图来分析,但需注意验证结果是否满足已知条件.解:第一步:求得全集U=x|x250,xN=0,1,2,3,4,5,6,7;第二步:将L(UM)=1,6,M(UL)=2,3,U(ML)=0,5中的元素在Venn图中依次定位如图;第三步:将元素4,7定位;第四步:根据图中的元素位置,得集合M=2,3,4,7,集合L=1,4,6,7.专题一 专题二 专题三 专题四 应用2已知集合A=x|3x7,B=x|2x10,C=x|xa,全集U=R.(1)求AB,(UA)B;(2)若AC,求实数a的取值范围.提示:解答本题时,
3、可以先在数轴上画出集合A,B,UA,C,再借助图形求解,要特别注意端点值的取舍.解:(1)如图,由图可知,AB=x|2x10,UA=x|x3,或x7.图如图,据图易知,(UA)B=x|2x3,或7x3.所以实数a的取值范围为a3.图专题一 专题二 专题三 专题四 专题二 补集思想在解题中的应用 全集为U,求子集A,若直接求A困难,可先求UA,再由U(UA)=A求A,这种“正难则反”的解题方法,运用的就是补集思想.应用1已知集合A=x|xa+5,或xa,B=x|2x4,若AB,求实数a的取值范围.提示:一般地,在求解有关取值范围的问题时,若正面情形较为复杂,我们可以考虑从其反面入手,再利用补集求
4、得其解.解:当AB=时,如图,即AB=时,实数a的取值范围为-1a2.故AB时,实数a的取值范围为a2.则 2,+5 4,解得-1a2.专题一 专题二 专题三 专题四 应用2已知集合A=x|x2-4mx+2m+6=0,mR,B=x|x0,若AB,求实数m的取值范围.解:设全集 U=m|=(-4m)2-4(2m+6)0=-1,或 32.若关于 x 的方程 x2-4mx+2m+6=0 的两根 x1,x2 均非负,则 ,1+2=4 0,12=2+6 0,解得m32.因为 32 在U 中的补集为m|m-1,所以实数m的取值范围为m-1.专题一 专题二 专题三 专题四 专题三 分类讨论思想在集合中的应用
5、 在解决两个数集之间关系的问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,若要对参数进行分类讨论,分类要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答.分类讨论的一般步骤:(1)确定标准;(2)恰当分类;(3)逐类讨论;(4)归纳结论.专题一 专题二 专题三 专题四 应用已知A=x|-22k+1,解得k 5,-1 2+1.解得-2k 32或k6.综上所述,k 的取值范围是 -32 或 6.专题一 专题二 专题三 专题四 专题四 新定义型集合问题 近几年,在各地的模拟试题和高考题中,新定义型试题经常出现,其特点是先引入一些新符号或
6、新定义的运算法则,再要求学生利用新知识解决问题,其目的是考查学生的自学能力.解答此类问题的关键在于阅读理解,要注意理解题目给出的信息,也就是要在准确把握新信息的基础上,以旧带新,并结合已学过的知识解决.此类题目虽然表面“陌生”,但一般难度不大.专题一 专题二 专题三 专题四 应用1设M,P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P=x|xM,且xP,则M-(M-P)=()A.PB.MP C.MPD.M 提示:本题是差集问题,可以从所给的定义入手转化为集合的交集、并集运算式进行推理,也可直接从M-(M-P)的意义上去考虑.解析:当MP时,由Venn图知,M-P为图形中的阴影部分,则M-(M-P)显
7、然为MP.当MP=时,M-P=M,则M-(M-P)=M-M=x|xM,且xM=MP.答案:B 专题一 专题二 专题三 专题四 应用2已知集合A=0,1,B=2,2a,其中aR,定义运算AB=x|x=x1+x2,x1A,x2B,若集合AB中的最大元素为2a+1,试求实数a的取值范围.提示:本题的关键在于从条件AB的定义入手,先求出集合AB中的所有元素,再根据条件列出关于a的不等式(组),求解a的取值范围.解:根据条件,可得x1+x2=2,2a,3,2a+1,2a+1是AB中的最大元素,2a+13,解得a1,实数a的取值范围为a1.1234561(2018浙江高考)已知全集U=1,2,3,4,5,
8、A=1,3,则UA=()A.B.1,3 C.2,4,5D.1,2,3,4,5 解析:A=1,3,U=1,2,3,4,5,UA=2,4,5,故选C.答案:C 1234562(2018全国高考)已知集合A=x|x-10,B=0,1,2,则AB=()A.0B.1 C.1,2D.0,1,2 解析:由题意得A=x|x1,B=0,1,2,AB=1,2.答案:C 1234563(2018天津高考)设集合A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,C=xR|-1x2,则(AB)C=()A.-1,1B.0,1C.-1,0,1D.2,3,4 解析:A=1,2,3,4,B=-1,0,2,3,AB=-1,0,1,2,3,4.又C=xR|-1x0,则RA=()A.x|-1x2B.x|-1x2 C.x|x2D.x|x-1x|x2 解析:解一元二次不等式x2-x-20,可得x2,则A=x|x2,所以RA=x|-1x2.答案:B 1234566(2018天津高考)设全集为R,集合A=x|0 x2,B=x|x1,则A(RB)=()A.x|0 x1B.x|0 x1 C.x|1x2D.x|0 x2 解析:B=x|x1,RB=x|x1.A=x|0 x2,A(RB)=x|0 x1.故选B.答案:B