2022版新教材数学人教A版必修第一册学案：4-3-2 对数的运算 WORD版含答案.docx

1、4.3.2 对数的运算课标解读课标要求素养达标1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.1数学运算能利用对数的运算性质进行对数式的化简、求值.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 对数的运算性质 自主思考如果a0 ，且a1 ，M0，N0 ，那么（1）loga(MN)= logaM+logaN ；（2）logaMN= logaM-logaN ；（3）logaMn= nlogaM(nR) .要点二 对数换底公式logab=logcblogca （a0, 且a1;b0;c0 ，且c1 ）.自主思考1.log2(-3)(-5)=lo

2、g2(-3)+log2(-5) 正确吗？答案：提示 不正确.2.求式子log916log881 的值.答案：提示原式=lg16lg9lg81lg8=2lg2lg343lg3lg2=243=83 .名师点睛1.换底公式的应用技巧（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.（2）题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.2.解对数综合应用问题的3个要点（1）统一化：所求为对数式,条件转为对数式.（2）选底数：针对具体问题,选择恰当的底数.（3）会结合：学会换底公式

3、与对数运算性质结合使用3.性质alogaN=N与logaab=b的作用（1）alogaN=N 的作用在于能把任意一个正实数转化为以a 为底的指数形式.（2）logaab=b 的作用在于能把以a 为底的对数转化为一个实数. 互动探究关键能力探究点一 对数运算性质的应用精讲精练例 求下列各式的值：（1）lg14-2lg73+lg7-lg18 ；（2）lg52+23lg8+lg5lg20+(lg2)2 .答案：（1）原式=lg(27)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(322)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0（2）原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5

4、)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3 .解题感悟1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，同时要注意各部分变形时要化到最简形式.2.化简同底的对数常用的方法：（1）“收”，将两对数的和（差）收成积（商）的对数.（2）“拆”，将两对数的积（商）拆成和（差）的对数.迁移应用1.（多选）下列计算正确的有( )A.lg100=10 B.log222=3C.lg(lne)=0 D.lg5+lg20=1答案： B ; C ; D2.计算下列各式的值：（1）(lg5)2+2lg2-(lg2)2 ；（2）lg3+2

5、5lg9+35lg27-lg3lg81-lg27 .答案：（1）原式=(lg5)2+(2-lg2)lg2=(lg5)2+(1+lg5)lg2=(lg5)2+lg2lg5+lg2=(lg5+lg2)lg5+lg2=lg5+lg2=1 .（2）原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115 .探究点二 对数换底公式的应用精讲精练例 求下列各式的值：（1）log29log34 ；（2）log52log79log513log734 .答案：（1）原式=lg9lg2lg4lg3=2lg3lg22lg2lg3=4（2）原式=l

6、og52log513log79log734=log132log349=lg2lg13lg9lg413=12lg2-lg32lg323lg2=-32 .解题感悟1.在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同，则需利用换底公式.2.常用的公式：logablogba=1,logablogbc=logac ，loganbm=mnlogab 等.迁移应用1.下列运算正确的是( )A.2log1510+log150.25=2B.log427log258log95=89C.lg2+lg50=10D.log(2+3)(2-3)-(log22)2=-54答案： D2.求下列各式的值：（1）log2125log31

7、8log519 ；（2）(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) .答案：（1）原式=lg125lg2lg18lg3lg19lg5=(-2lg5)(-3lg2)(-2lg3)lg2lg3lg5=-12 .（2）原式=(log253+log2252+log235)(log5323+log5222+log52)=(3+1+13)log25(1+1+1)log52=1333=13探究点三 对数运算性质的综合应用精讲精练例（1）已知log189=a,18b=5 ，求log3645 （用a,b 表示）；（2）若lg(x-y)+lg(x+2y)=lg2+lg

8、x+lgy ，求xy 的值.答案：（1）因为18b=5 ，所以log185=b .则log3645=log1845log1836=log18(59)log18(182)=log185+log1891+log182=b+a1+log18189=a+b2-a（2）由题意得lg(x-y)+lg(x+2y)=lg(x-y)(x+2y)=lg(2xy) ，所以(x-y)(x+2y)=2xy ，即x2-xy-2y2=0 ，所以(x-2y)(x+y)=0 ，所以xy=2或xy=-1 .由题意得xy0 ,所以xy1 ，所以xy=2 .解题感悟 对数等式中含有字母参数时,要注意隐含条件，如例题中应有x-y0 ，

9、x+2y0 ，x0 ，y0 ，由此可得xy0 ，得xy1 ，故xy-1应舍去.故当多个变量出现在同一个关系式中时,变量的取值范围会相互限制,因此应特别注意变量之间的相关性.迁移应用1.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：m/s ）和燃料的质量M （单位：kg ），火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）满足ev=(1+Mm)2000 （e 为自然对数的底数）当燃料的质量M 为火箭（除燃料外）的质量m 的2倍时，求火箭的最大速度.(ln31.099)答案：因为ev=(1+Mm)2000,M=2m ，所以v=2000ln(1+Mm)=2000ln320001.099=2198(m

10、/s) .故当燃料的质量M 为火箭（除燃料外）的质量m 的2倍时,火箭的最大速度为2198m/s .评价检测素养提升课堂检测 1.（多选）下列等式中不成立的是( )A.lne=1 B.log31=0C.lg(MN)=lgM+lgN D.log2(-5)2=2log2(-5)答案：C ; D2.方程lgx+lg(x+3)=1 的解x= .答案：2解析：由lgx+lg(x+3)=1 ，得lgx(x+3)=lg10 ，即x(x+3)=10 ，整理得x2+3x-10=0 .解得x=-5 或x=2 .x0 ，x=2 .3.已知lga ，lgb 是方程2x2-4x+1=0 的两根，则(lgab)2 的值是

11、 .答案：2解析：由题意得，lga+lgb=2 ，lgalgb=12 ，所以lgab2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lgalgb=22-412=2 .4.（2020吉林长春高一月考）计算下列各式的值：（1）(1681)34+log354+log345 ；（2）设3a=4b=36 ，求2a+1b 的值.答案：（1）原式=(23)434+log3(5445)=(23)3=827 .（2）3a=4b=36 ，a=log336,b=log436 ，2a+1b=2log363+log364=log36(324)=1 .素养演练数学运算利用恒等转化思想求值1.已知2x=3y=5z ，且1

12、x+1y+1z=1 ，求x,y,z 的值.答案：令2x=3y=5z=k(k0,且k1) ，则x=log2k ，y=log3k ，z=log5k ，1x=logk2 ，1y=logk3 ，1z=logk5 ，由1x+1y+1z=1 ，得logk2+logk3+logk5=logk30=1 ，k=30 ，x=log230=1+log215 ，y=log330=1+log310 ，z=log530=1+log56 .素养探究：利用指数式与对数式之间的互化进行化简求值的过程，体现了数学运算的核心素养.迁移应用1.已知x,y,z 均为正数，3x=4y=6z,且2x=py .（1）求实数p 的值；（2）求证：1z-1x=12y .答案：（1）设3x=4y=6z=k(k0,且k1) ，则x=log3k ，y=log4k ，z=log6k .由2x=py ，得2log3k=plog4k=plog3klog34 .log3k0 ，p=2log34 .（2）证明：由（1）知1z-1x=1log6k-1log3k=logk6-logk3=logk2 ，又12y=12logk4=logk2 ，1z-1x=12y .