1、第2课时 一元二次不等式的应用互动探究关键能力探究点一 分式不等式的解法自测自评1.不等式x-2x+30 的解集是( )A.x|-3x2 B.x|x2C.x|x-3或x2 D.x|x-2或x3答案：C解析：不等式x-2x+30 等价于(x-2)(x+3)0 ，解得x2 或x-3 .故选C.2.不等式x-12x+11 的解集为( )A.x|x-2或x-12B.x|x-2C.x|x-2或x-12D.x|-2x-12答案：A解析：原不等式可化为x-12x+1-10 ，即-x-22x+10 ，x+22x+10 ，即(x+2)(2x+1)0,2x+10, 解得x-2或x-12 ，故选A.3.若关于x 的
2、不等式x-ax+10 的解集为x|x-1或x4 ，则实数a= .答案： 4解析：x-ax+10(x+1)(x-a)0(x+1)(x-4)0 ，a=4 .4.不等式x2-2x-2x2+x+12 的解集为 .答案：x|x-2解析： x2-2x-2x2+x+1-2=-x2-4x-4x2+x+1=-(x+2)2x2+x+10 ，x-2 .即不等式x2-2x-2x2+x+12 的解集为x|x-2 .解题感悟1.对于不等号一端为零的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分（一般不去分母），使之转化为右边为零的
3、不等式，然后求解.探究点二 一元二次不等式的实际应用精讲精练例 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件.（1）据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价到x 元.公司拟投入16(x2-600) 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5 万元作为活动宣
4、传费用.试问:当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?答案：（1）设每件的售价为t元，依题意得(8-t-2510.2)t258 ，整理得t2-65t+10000 ，解得25t40 .所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为40元.（2）依题意得，当x25 时，不等式ax258+50+16(x2-600)+x5 有解，等价于当x25 时，a150x+x6+15 有解.因为150x+x62150xx6=10 ，当且仅当150x=x6 ，即x=30 时等号成立，此时150x+x6+15=10.2 ，所以a
5、10.2 .故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件的售价为30元.解题感悟解不等式应用题的步骤迁移应用1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏.售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？答案：设每盏台灯的售价为x 元(x15) ，则日销售收入为x30-2(x-15) 元，令x30-2(x-15)400 ，解得10x20 .又x15 ，所以15x20 .所以为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，这批台灯
6、的销售价格x 应满足15x20 .探究点三 不等式的恒成立问题精讲精练 例 （1）不等式x2+2x+a2-30 的解集为R ，求a 的取值范围；（2）若对一切xR ，不等式ax2+2x+20 恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1） 不等式x2+2x+a2-30 的解集为R ， 二次函数y=x2+2x+a2-3 的图象应在x 轴上方，=4-4(a2-3)0 ，解得a2 或a-2 .（2）若a=0 ，则显然不等式ax2+2x+20 不能对一切xR 都成立，所以a0 ，此时只有二次函数y=ax2+2x+2 的图象与x 轴无交点且开口向上时，才满足题意，则a0,=4-8a0, 解得a12 ，即实数
7、a 的取值范围是a|a12 .解题感悟1.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数.2.不等式ax2+bx+c0 的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当a0 时，b0 ，c0 ；当a0 时，a0,0.不等式ax2+bx+c0 的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当a0 时，b0 ，c0,0,m2-10, 则m2,m1,解得m-1 或m2 .综上所述，m 的取值范围是m-1 或m2 .评价检测素养提升 1.已知全集为R ，A=x|x-1x+10 ，B=x|x0 ，则
8、R(AB)= ( )A.x|x0或x1 B.x|x0或x1C.x|x-1 D.x|x-1答案：A解析：由x-1x+10 得x-10,x+10 或x-10,x+10, 解得-1x1 ，AB=x|0x1 .R(AB)=x|x0或x1 ，故选A.2.已知关于x 的不等式ax-1x+10 的解集是x|x-1或x12 ，则a= .答案： 2解析：不等式ax-1x+10 等价于(ax-1)(x+1)0 .由题意得a0 ，且-1和12 是方程(ax-1)(x+1)=0 的两个根，所以(a2-1)(12+1)=0 ，解得a=2 .3.（2021浙江高一期末）若关于x 的不等式(m-1)x2+(m-1)x+20 的解集为R ，则实数m 的取值范围是 .答案：m|1m9解析：当m-1=0 ，即m=1 时，原不等式可化为20，恒成立，符合题意；当m-10 ，即m1 时，若不等式(m-1)x2+(m-1)x+20 的解集是R ，则m-10,=(m-1)2-8(m-1)0, 解得1m9 .综上可得，实数m 的取值范围是m|1m9 .
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