1、高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切考点一三角函数的化简求值 例 1(1)(2013重庆高考)4cos 50tan 40()A.2 B.2 32C.3D2 21(2)化简：1sin cos sin2cos222cos(0)自主解答(1)4cos 50tan 404sin 40sin 40cos 404cos 40sin 40sin 40cos 402sin 80sin 40cos 402sin12040sin 40cos 40 3cos 40sin 40sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3.(2)原式2sin2
2、cos22cos22 sin2cos24cos22cos2sin22cos22cos2cos2cos cos2.因为 0，所以 022，所以 cos20，故原式cos.答案(1)C【方法规律】1三角函数式化简的原则三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子结构与特征2解决给角求值问题的基本思路对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：(1)化为特殊角的三角函数值；(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值化简：(1)sin 50(1 3tan 10)；(2)2cos4x2cos2x122tan4x sin2x4.解
3、：(1)sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50 cos6010cos 60cos 10 高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。2sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.(2)原式2cos2xcos2x1122tan4x cos24x 4cos2xsin2x14cos4x sin4x 1sin22x2sin22x cos22x2cos 2x12cos 2x.考点二三角函数的条件求值 例
4、2(1)(2013浙江高考)已知 R，sin 2cos 102，则 tan 2()A.43B.34 C34D43(2)(2013广东高考)已知函数 f(x)2cosx 12，xR.求 f6 的值；若 cos 35，32，2，求 f23.自主解答(1)法一：(直接法)两边平方，再同时除以 cos2，得 3tan28tan 30，tan 3 或 tan 13，代入 tan 2 2tan 1tan2，得 tan 234.法二：(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性，记 sin 310，cos 110，这时 sin 2cos 102 符合要求，此时 tan 3，代入二倍角公式得到答案 C.(2)f6 2
5、cos6 12 2cos4 2cos 41.f23 2 cos23 12 2cos24 cos 2sin 2.因为 cos 35，32，2，所以 sin 45.所以 sin 22sin cos 2425，cos 2cos2sin2 725.所以 f23 cos 2sin 2 7252425 1725.答案(1)C【互动探究】保持本例(2)条件不变，求 f6 的值解：因为 32，2，cos 35，所以 sin 1cos21 35245.所以 f6 2cos6 12 2cos4 222 cos 22 sin cos sin 354515.【方法规律】三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确
6、选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。1(2013新课标全国卷)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _.解析：法一：由 在第二象限，且 tan4 12，因而 sin4 55，因而 sin cos 2 sin4 105.法二：如果将 tan4 12利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.
7、又因为 在第二象限，则 sin 110，cos 310，从而 sin cos 210 105.答案：1052已知 02，且 cos2 19，sin2 23，求 cos()的值解：02，422，42，cos2 1sin22 53，sin2 1cos22 4 59，cos2 cos2 2cos2 cos2 sin2 sin219 53 4 59 237 527，cos()2cos22 12495729 1239729.高频考点考点三三角变换的综合应用 1三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据高考常与三角函数的其他知识相结合命题，题目难度适中，为中档题2高考对三角恒等变换综合问题的考查常有
8、以下几个命题角度：(1)与三角函数的图象和性质相结合命题；(2)与向量相结合命题；(3)与解三角形相结合命题(见本章第六节)例 3(1)(2013天津高考)已知函数 f(x)2sin2x4 6sin xcos x2cos2x1，xR.求 f(x)的最小正周期；求 f(x)在区间0，2 上的最大值和最小值(2)(2013辽宁高考)设向量 a(3sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，2.若|a|b|，求 x 的值；设函数 f(x)ab，求 f(x)的最大值自主解答(1)f(x)2sin 2xcos4 2cos 2xsin43sin 2xcos 2x2sin 2x2cos 2
9、x2 2sin2x4.所以 f(x)的最小正周期 T22.高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。因为 f(x)在区间0，38 上是增函数，在区间38，2 上是减函数，又 f(0)2，f382 2，f 2 2，故函数 f(x)在0，2 上的最大值为 2 2，最小值为2.(2)由|a|2(3sin x)2sin2x4sin2x，|b|2cos2xsin2x1，及|a|b|，得 4sin2x1.又 x0，2，从而 sin x12，所以 x6.f(x)ab 3sin xcos xsin2x 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12，当 x30，2 时，sin2
10、x6 取最大值 1.所以 f(x)的最大值为32.三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略(1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为 f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决(2)与向量相结合的综合问题此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决1已知平面向量 a(sin2x，cos2x)，b(sin2x，cos2x)，R 是实数集，f(x)ab4cos2x2 3sin xcos x，如果存在 mR，任意的 xR，f(x)f(m)，那么 f(m)()A22 3 B3
11、 C0 D22 3解析：选 C 依题意得 f(x)sin4xcos4x4cos2x 3sin 2xsin2x3cos2x 3sin 2xcos 2x 3sin 2x22sin2x6 2，因此函数 f(x)的最小值是220，即有 f(m)0.2已知 x0，x02是函数 f(x)cos2x6 sin2x(0)的两个相邻的零点(1)求 f12 的值；(2)若对x712，0，都有|f(x)m|1，求实数 m 的取值范围解：(1)f(x)1cos2x321cos 2x212cos2x3 cos 2x1212cos 2x 32 sin 2x cos 2x 1232 sin 2x32cos 2x 32 12
12、sin 2x 32 cos 2x 32 sin2x3.由题意可知，f(x)的最小正周期 T，2|2|，又0，1，f(x)32sin2x3.f12 32 sin2 123 32 sin2 32.(2)|f(x)m|1，即 f(x)1mf(x)1，对x712，0，都有|f(x)m|1，mf(x)max1 且 mf(x)min1，712x0，56 2x33，1sin2x3 32，32 32 sin2x3 34，即 f(x)max34，f(x)min 32，高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。14m1 32.故实数 m 的取值范围为14，1 32.课堂归纳通法领悟1 组关系
13、两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角 公式的关系 2 个技巧拼角、凑角的技巧(1)用已知角表示未知角2()()；2()()；()()；2 2，2 2；2 2 2 等(2)互余与互补关系4 4 2；3 6 2；34 4；6 56 ；3 个变换应用公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等