1、难点七 函数零点、单调性、极值等综合问题 栏目导航 专项限时集训(对应学生用书第 73 页)函数零点、单调性、极值都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与导数是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数思想的运用是我们解决问题的重要手段，而导数是我们解决问题的一个行之有效的工具1函数零点函数零点问题主要是研究函数与方程问题，方程 f(x)0 的解就是函数 yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，即零点函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面
2、：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大【例 1】(2017江苏高考)已知函数 f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数 f(x)的极值点是 f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a
3、 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；(3)若 f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于72，求 a 的取值范围.【导学号：56394108】解(1)由 f(x)x3ax2bx1，得f(x)3x22axb3xa32ba23.当 xa3时，f(x)有极小值 ba23.因为 f(x)的极值点是 f(x)的零点，所以 f a3 a327a39 ab3 10.又 a0，故 b2a29 3a.因为 f(x)有极值，故 f(x)0 有实根，从而 ba23 19a(27a3)0，即 a3.当 a3 时，f(x)0(x1)，故 f(x)在 R 上是增函数，f(x)没有极值；当 a3 时，
4、f(x)0 有两个相异的实根x1a a23b3，x2a a23b3.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值 极小值 故 f(x)的极值点是 x1，x2.从而 a3.因此 b2a29 3a，定义域为(3，)(2)证明：由(1)知，ba2a a9 3a a.设 g(t)2t93t，则 g(t)293t22t2279t2.当 t3 62，时，g(t)0，从而 g(t)在3 62，上单调递增因为 a3，所以 a a3 3，故 g(a a)g(3 3)3，即 ba 3.因此 b23a.(3)由(1)知，f(x)的极值点是 x1，x2，且 x1x223a，x21x
5、224a26b9.从而 f(x1)f(x2)x31ax21bx11x32ax22bx21x13(3x212ax1b)x23(3x222ax2b)13a(x21x22)23b(x1x2)24a36ab274ab9 20.记 f(x)，f(x)所有极值之和为 h(a)，因为 f(x)的极值为 ba23 19a23a，所以 h(a)19a23a，a3.因为 h(a)29a 3a2f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明：g(x)x2exax2x3x2x3(f(x)a)由(1)知，f(x)a 单调递增对任意 a0,1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一 x
6、a(0,2，使得 f(xa)a0，即 g(xa)0.当 0 xxa 时，f(x)a0，g(x)xa 时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增因此 g(x)在 xxa 处取得最小值，最小值为 于是 h(a)exaxa2.由exx2 x1exx22 0，得 y exx2单调递增，所以，由 xa(0,2，得12 e002h(a)exaxa2 e222e24.因为 y exx2单调递增，对任意 12，e24，存在唯一的 xa(0,2，af(xa)0,1)，使得 h(a).所以 h(a)的值域是12，e24.综上，当 a0,1)时，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是12，e24.【例 6
7、】设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解(1)因为 f(x)xeaxbx，所以 f(x)(1x)eaxb.依题设，f22e2，f2e1，即2ea22b2e2，ea2be1.解得a2，be.(2)由(1)知 f(x)xe2xex.由 f(x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.所以，当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故 f(x)的单调递增区间为(，)方法总结 函数性质与方程综合时，要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后再研究函数零点问题；函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调性、最值进行研究；函数、方程与不等式综合在一起时，要注意利用导数这个有利工具进行解答专项限时集训（七）点击图标进入
