1、21.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算第二章 平面向量第二章 平面向量 1.了解平行向量的基本内容 2.理解平行向量基本定理及轴上向量的坐标运算 3掌握平行向量基本定理及轴上向量的坐标公式并会运用定理、公式解决实际问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量1向量共线的条件(1)平行向量基本定理：如果 ab，则 ab；反之，如果 ab，且 b0，则一定_，使_(2)单位向量：给定一个非零向量 a，与 a_且长度_的向量，叫做向量 a 的单位向量如果 a 的单位向量记作 a0，由数乘向量的定义可知 a|a|a0 或_存在唯一一个实数 ab同方向等于 1a0 a|
2、a|栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量2轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标规定了_和_的直线叫做轴已知轴 l，取单位向量 e，使 e 的方向与 l_方向，对轴上任意向量 a，一定存在唯一实数 x，使_单位向量 e叫做轴 l 的基向量x 叫做 a 在 l 上的坐标(或数量)x 的绝对值等于 a 的长，当 a 与 e_时，x 是正数，当 a 与 e_时，x 是负数给定单位向量 e，能生成与它平行的所有向量的集合_方向长度单位同axe同方向反方向xe|xR栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量(2)轴上向量的坐标运算轴上两个
3、向量相等的法则：轴上两个向量相等的条件是它们的_，即设 ax1e，bx2e，则 ab_轴上求两个向量和的法则：轴上两个向量和的坐标等于两个向 量 的 _，即 设 a x1e，b x2e，则 a b _如果设 e 是轴 l 上的一个基向量，AB 的坐标又常用_表示此时AB _ e，显然BA BAe，AB 与 BA 绝对值_，符号_，即 ABBA0.一般地，对于轴上的任意三点 A、B、C，有 ABBC_坐标相等x1x2坐标的和(x1x2)eABAB相同相反AC栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式：轴上向量的坐标等于向量_减去_
4、在数轴 x 上，已知点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，于是得 ABAOOBOAOB_所以数轴上两点 A、B 的距离公式为|AB|_终点的坐标始点的坐标x2x1|x2x1|栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量1若数轴上，A，B 两点的坐标分别是 3，5，则 A，B 两点的距离为()A8 B2C3 D2解析：选 B.|AB|53|2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量2数轴上点 A，B，C 的坐标分别为1，1，5，则下列结论错误的是()AAB 的坐标是 2BCA 3ABCCB 的坐标是 4DBC 2AB解析：选 C
5、.CB 的坐标为 CBxBxC154.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量3已知向量 a2e，be，则 a 与 b_(填“共线”或“不共线”)答案：共线栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 轴上向量的坐标及长度计算 已知数轴上四点 A、B、C、D 的坐标分别是4、2、c、d.(1)若 AC5，求 c 的值；(2)若|BD|8，求 d 的值；(3)若AC 3AD，求证：3CD 4AC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量【解】(1)因为 AC5，所以 c(4)5，所以 c1.(2)因为|BD|8
6、，所以|d(2)|8，即 d28 或 d28，所以 d6 或 d10.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量(3)证明：法一：因为AC c4，AD d4，又AC 3AD，所以 c43(d4)，即 c3d16.这时 3CD 3(dc)3d3c3d3(3d16)12d48，4AC 4c(4)4c16 4(3d16)16 12d48，所以 3CD 4AC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量法二：因为CD CA AD AC AD，而AC 3AD，所以CD(3AD)AD 4AD，所以 3CD 12AD，又4AC 4(3AD)12AD，故
7、 3CD 4AC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量解答本题时利用数轴上点的坐标，计算出两点所对应向量的坐标，特别要注意向量坐标运算公式的顺序，还要注意模运算中可能会出现的两种情形 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 已知数轴上 A、B 两点的坐标为 x1、x2，求AB、BA 的坐标和长度(1)x18，x25；(2)x13.8，x21.7.解：(1)因为 x18，x25，所以 AB5(8)13，BA8513，所以AB 的坐标为 13，|AB|13，BA 的坐标为13，|BA|13.(2)AB 的坐标为5.5，|AB|5.5
8、，BA 的坐标为 5.5，|BA|5.5.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 平行向量基本定理的应用 已知非零向量 e1，e2 不共线(1)如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)，求证：A、B、D 三点共线；(2)欲使 ke1e2 和 e1ke2 共线，试确定实数 k 的值【解】(1)证明：因为AB e1e2，BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB.所以AB，BD 共线，且有公共点 B，所以 A、B、D 三点共线 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量(2)因为 ke1e2 与 e
9、1ke2 共线，所以存在实数，使 ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于 e1 与 e2 不共线，只能有k0，k10，所以 k1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 平行向量基本定理的应用(1)判断两个向量是否共线可转化为存在性问题解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程求解若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之则不存在(2)应用该定理可证明三点共线、两直线平行等几何问题另一方面当已知两向量共线时应用该定理可以找到有关这两个向量的等量关系，为下一步运算提供一个有利条件 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习
10、第二章 平面向量 1.已知 e1，e2 是平面内不共线的两个向量，a2e13e2，be16e2，若 a，b 共线，则 等于()A9 B4C4 D9解析：选 B.由 a，b 共线知 amb，mR，于是 2e13e2m(e16e2)，即(2m)e1(6m3)e2.由于 e1，e2 不共线，所以6m30，2m0，所以 4.故选 B.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量2设 a，b 为不共线的两个非零向量，已知向量AB akb，CB 2ab，CD 3ab，若 A，B，D 三点共线，则实数 k的值等于()A10 B10C2 D2解析：选 C.因为 A，B，D 三点共线，
11、所以AB BD(CD CB)，所以 akb(3ab2ab)(a2b)，所以 1，k2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 用平行向量基本定理证明平面几何问题 在如图所示的梯形 ABCD 中，ABDC，E、F 分别是 AD、BC 的中点求证：EFABDC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量【证明】如图，延长 EF 到 M，使 EFFM，连接 CM，BM，EC，EB，得ECMB，由平行四边形法则得 EF 12EM 12(EB EC)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量由于 ABDC，所以AB、
12、DC 共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数，使AB DC.由三角形法则得 EB EA AB，EC ED DC 且ED EA 0，所以EF 12(EB EC)12(EA AB ED DC)12(AB DC)12 DC，所以EF DC.由于 E、D 不共点，所以 EFDCAB.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量应用平行向量基本定理证明直线平行或三点共线时，关键是把一个向量用有关向量线性表示，同时有机地结合向量加减法、数乘、待定系数法确定向量等式 ba，再结合图形完成证明 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量 如图，在AB
13、C 中，已知AM 13AB，AN 13AC.求证：MN BC.证明：因为AM 13AB，AN 13AC，所以MN AN AM 13AC 13AB 13(AC AB)13BC，所以MN BC.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量1证明三点共线的等价命题向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题如图 A、B、C 三点共线，则AB AC，任取直线 AC 外一点 P，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量则PBPA(PCPA)，所以PB PC(1)PA，由此可推出三点共线的等价命题：A、B、C 三点共线等
14、价于PBPCPA(、R 且 1)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量2向量平行与直线平行的区别利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量失误防范在平行向量基本定理中，勿忘条件 b0；即 ab 且 b0，则存在唯一实数，使 ab 成立 若 b0，则 b00，则 b 只能表示零向量了栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量1下列命题正确
15、的是()Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量解析：选 C.由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，不是平行四边形的四个顶点，所以 B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；假若 a 与 b 至少有一个是零向量，而零向量
16、与任一向量都共线，可得 a 与 b 共线，这与 a 与 b 不共线矛盾，所以有 a 与 b 都是非零向量，所以应选 C.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量2已知数轴上两点 A、B 的坐标分别是1、4，则 AB 与|AB|分别是()A3，3 B3，3C3，3 D6，6解析：选 A.AB4(1)3，|AB|3|3.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量3已知数轴 x 上三点 A、B、C，且 AB3，BC4，则 AC_解析：ACABBC3(4)1.答案：1栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量4若 e 是 a 的单位向量，b 与 e 方向相反，且|b|3，又|a|4，则 a_b.解析：由题意知 b3e，又 a4e，所以 a43b.答案：43栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第二章 平面向量本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
