1、第八节 离散型随机变量的均值与方差教 材 回 顾 考 点 突 破 栏目导航 最新考纲考情考向分析1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念2会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.以理解均值与方差的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，考查二项分布的均值与方差掌握均值与方差的性质和求法是解题关键高考中常以解答题形式考查，难度为中等偏上.基础梳理1离散型随机变量X的分布列Xx1x2xixnPp1p2pipn2.离散型随机变量X的均值与方差均值(数学期望)方 差计算公式E(X)x1p1x2p2xipixnpnD(X)ni1(xiE(X)2pi3.均值与方差的性质(1)E
2、(aXb)(a，b 为常数)(2)D(aXb)(a，b 为常数)4两点分布的均值与方差若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)，D(X)5二项分布的均值与方差若随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，即 XB(n，p)，则 E(X)，D(X)aE(X)ba2D(X)pp(1p)npnp(1p)三基自测1(选修232.3练习改编)已知X的分布列为X101P121316设Y2X3，则E(Y)的值为()A.73 B4C1 D1答案：A2(选修232.3练习改编)若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X).答案：03(选修232.3练习改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别
3、是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：甲X0123P0.40.30.20.1乙Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是答案：乙4(选修23习题2.3A组改编)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X).答案：916 考点一|离散型随机变量的均值与方差(方法突破)【例1】(1)随机变量的分布列为：101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E()13，则D().(2)近年来，我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A，B两城之间开通高速列车，假设在试运行期间，每天8：009：00,9：0010：00两个时段
4、内各发一趟列车由A城到B城(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及其概率如下表所示：发车时间8：108：308：509：109：309：50概率161213161213若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，假设他们到达A城火车站候车的时间分别是周六8：00和周日8：20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)设乙候车所需时间为随机变量X，求X的分布列和数学期望；求甲、乙二人候车时间相等的概率解析(1)由a，b，c成等差数列及分布列性质得，abc1，2bac，ac13，解得b13，a16，c12.D()16113213013212113259.(2)X的所有可能取值为10,30,50,70,90(分钟)
5、，其概率分布列如下：X1030507090P1213136112118X的数学期望E(X)1012301350 13670 11290 1182459(分钟)甲、乙二人候车时间分别为10分钟、30分钟、50分钟的概率为P甲10 16，P甲3012，P甲5013；P乙1012，P乙3013，P乙501616 136.所以所求概率P1612121313 136 727.即甲、乙二人候车时间相等的概率为 727.答案(1)59跟踪训练 现有一个寻宝游戏，规则如下：在起点P处有甲、乙、丙三条封闭的单向线路，走完这三条线路所花费的时间分别为10分钟、20分钟、30分钟游戏主办方将宝物放置在乙线路上(参赛
6、方并不知晓)开始寻宝时参赛方在起点处随机选择路线顺序，若没有寻到宝物，重新回到起点后，再从没有走过的线路中随机选择路线继续寻宝，直到寻到宝物并将其带回到P外，在这期间所花费的时间记为X(单位：分钟)(1)求X30的概率；(2)求X的分布列及数学期望E(X)解析：设“走完甲线路寻到宝物”为事件A，“走完乙线路寻到宝物”为事件B，“走完丙线路寻到宝物”为事件C.(1)P(X30)P(B)P(AB)13131212.(2)X所有的取值分别是20,30,50,60.P(X20)P(B)13.P(X30)P(AB)131216，P(X50)P(CB)131216，P(X60)P(ACB)P(CAB)13
7、12131213.X的分布列如下：X20305060P13161613E(X)201330165016601340.考点二|与二项分布有关的均值与方差(易错突破)【例2】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望解析(1)记事件A1从甲箱中摸出的1个球是红球，A2从乙箱中摸出
8、的1个球是红球，B1顾客抽奖1次获一等奖，B2顾客抽奖1次获二等奖，C顾客抽奖1次能获奖由题意知A1与A2相互独立，A1 A2 与 A1 A2互斥，B1与B2互斥，且B1A1A2，B2A1 A2 A1 A2，CB1B2.因为P(A1)41025，P(A2)51012，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)251215，P(B2)P(A1 A2 A1 A2)P(A1 A2)P(A1 A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)25112 125 1212.故所求概率为P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2)1512 710.(2)顾客
9、抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以XB3，15.于是P(X0)C03150453 64125，P(X1)C13151452 48125，P(X2)C23152451 12125，P(X3)C33153450 1125，故X的分布列为X0123P6412548125121251125X的数学期望为E(X)31535.名师点拨 利用均值与方差解决实际问题的方法1对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来2依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率3依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值4依据
10、期望与方差的意义对实际问题做出决策或给出合理的解释跟踪训练(2018贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和 115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解析：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150P7929E(X1)30079(150)29200(万元)若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X25003000P3513115E(X2)50035(300)130 115200(万元)D(X1)(300200)279(150200)22935 000，D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2 115140 000.E(X1)E(X2)，D(X1)E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大